सिद्धांत संभावना

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि संभाव्यता सिद्धांत क्या है और इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। तो आपको संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं के साथ-साथ संभाव्यता सिद्धांत के गुण और नियम भी मिलेंगे।

संभाव्यता सिद्धांत क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत नियमों और गुणों का एक समूह है जिसका उपयोग किसी यादृच्छिक घटना की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार, संभाव्यता सिद्धांत हमें यह जानने की अनुमति देता है कि यादृच्छिक प्रयोग का कौन सा परिणाम घटित होने की सबसे अधिक संभावना है।

ध्यान रखें कि एक यादृच्छिक घटना एक परिणाम है जो एक प्रयोग से प्राप्त किया जा सकता है जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, लेकिन यह संयोग पर निर्भर करता है। इसलिए संभाव्यता सिद्धांत कानूनों का एक समूह है जो हमें किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हमें दो संभावित परिणाम मिल सकते हैं: चित या पट। खैर, हम चित आने की संभावना की गणना करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं, जो इस मामले में 50% है।

पूरे इतिहास में, कई लोगों ने संभाव्यता सिद्धांत के विकास में योगदान दिया है, जिनमें कार्डानो, लाप्लास, गॉस और कोलमोगोरोव प्रमुख हैं।

➤ देखें: संभाव्यता सूत्र

संभाव्यता सिद्धांत की मूल बातें

नमूना अंतरिक्ष

संभाव्यता सिद्धांत में, नमूना स्थान एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समूह है।

नमूना स्थान का प्रतीक बड़े ग्रीक अक्षर ओमेगा (Ω) है, हालांकि इसे बड़े अक्षर ई द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाने के लिए नमूना स्थान है:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤ देखें: नमूना स्थान

आयोजन

संभाव्यता सिद्धांत में, एक घटना (या घटना) एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रत्येक संभावित परिणाम है। इसलिए, किसी घटना की संभावना एक ऐसा मान है जो किसी परिणाम के घटित होने की संभावना को इंगित करता है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने में दो घटनाएँ होती हैं: “चित” और “पट”।

घटनाएँ विभिन्न प्रकार की होती हैं:

प्राथमिक घटना (या साधारण घटना): प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम।
समग्र घटना: यह नमूना स्थान का एक उपसमूह है।
निश्चित घटना: यह एक यादृच्छिक अनुभव का परिणाम है जो हमेशा घटित होता रहेगा।
असंभव घटना: यह एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम है जो कभी घटित नहीं होगा।
संगत घटनाएँ: दो घटनाएँ संगत होती हैं जब उनमें कोई प्राथमिक घटना समान होती है।
असंगत घटनाएँ: दो घटनाएँ असंगत होती हैं जब वे किसी प्राथमिक घटना को साझा नहीं करती हैं।
स्वतंत्र घटनाएँ: दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक के घटित होने की संभावना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।
आश्रित घटनाएँ: दो घटनाएँ निर्भर होती हैं यदि एक के घटित होने की संभावना दूसरे के घटित होने की संभावना को बदल देती है।
दूसरी के विपरीत घटना: वह घटना जो तब घटित होती है जब दूसरी घटना घटित नहीं होती।

➤ देखें: घटनाओं के प्रकार

संभाव्यता के अभिगृहीत

संभाव्यता के अभिगृहीत हैं:

संभाव्यता अभिगृहीत 1 : किसी घटना की संभावना ऋणात्मक नहीं हो सकती।

$0\leq P(A)\leq 1$

संभाव्यता अभिगृहीत 2 : एक निश्चित घटना की संभावना 1 है।

$P(\Omega)=1$

संभाव्यता अभिगृहीत 3 : असंगत घटनाओं के एक सेट की संभावना सभी संभावनाओं के योग के बराबर है।

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ देखें: संभाव्यता के सिद्धांत

संभाव्यता गुण

संभाव्यता गुण हैं:

एक घटना की प्रायिकता उसके विपरीत घटना की प्रायिकता को घटाकर एक के बराबर होती है।

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

किसी असंभव घटना की संभावना सदैव शून्य होती है।

$P(\varnothing)=0$

यदि एक घटना को किसी अन्य घटना में शामिल किया जाता है, तो पहली घटना की संभावना दूसरी घटना की संभावना से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

दो घटनाओं के मिलन की संभावना प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना के योग के बराबर होती है, जिसमें उनके प्रतिच्छेदन की संभावना को घटा दिया जाता है।

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

दो-दो असंगत घटनाओं के एक सेट को देखते हुए, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को जोड़कर उनकी संयुक्त संभावना की गणना की जाती है।

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

एक नमूना स्थान में सभी प्रारंभिक घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है।

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤ देखें: संभाव्यता के गुण

संभाव्यता नियम

लाप्लास का नियम

लाप्लास का नियम एक संभाव्य नियम है जिसका उपयोग नमूना स्थान में होने वाली किसी घटना की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है।

अधिक विशेष रूप से, लाप्लास का नियम कहता है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना अनुकूल मामलों की संख्या को संभावित मामलों की कुल संख्या से विभाजित करने के बराबर होती है। इसलिए लाप्लास के नियम का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

उदाहरण के लिए, यदि हम एक बैग में 5 हरी गेंदें, 4 नीली गेंदें और 2 पीली गेंदें रखते हैं, तो हम लाप्लास के नियम का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से एक हरी गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं:

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤ देखें: लाप्लास नियम (संभावना)

योग नियम

संभाव्यता सिद्धांत में, योग नियम (या जोड़ का नियम) कहता है कि दो घटनाओं की संभावनाओं का योग प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना के योग के बराबर होता है, जिसमें से एक ही समय में दोनों घटनाओं के घटित होने की संभावना को घटा दिया जाता है। समय। .

तो, जोड़ नियम का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

आप निम्नलिखित लिंक में जोड़ नियम के अनुप्रयोग के हल किए गए चरण-दर-चरण अभ्यास देख सकते हैं:

➤ देखें: जोड़ नियम (संभावना)

गुणन नियम

गुणन नियम (या उत्पाद नियम) कहता है कि दो स्वतंत्र घटनाओं के घटित होने की संयुक्त संभावना प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर होती है।

इसलिए गुणन नियम का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

हालाँकि, गुणन नियम का सूत्र इस पर निर्भर करता है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं या आश्रित हैं। आप यहां क्लिक करके देख सकते हैं कि आश्रित घटनाओं के लिए गुणन नियम का सूत्र क्या है और इस नियम को लागू करने के उदाहरण क्या हैं:

➤ देखें: गुणन नियम (संभावना)

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने