आकार माप

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 4, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आकार माप क्या हैं। तो आप सीखेंगे कि आकार मेट्रिक्स का उपयोग किस लिए किया जाता है, आकार मेट्रिक्स की व्याख्या कैसे की जाती है, और इस प्रकार के सांख्यिकीय मेट्रिक्स की गणना कैसे की जाती है।

आकार माप क्या हैं?

आंकड़ों में, आकार माप संकेतक हैं जो हमें इसके आकार के अनुसार संभाव्यता वितरण का वर्णन करने की अनुमति देते हैं। अर्थात्, आकार माप का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि वितरण कैसा दिखता है, इसे ग्राफ़ करने की आवश्यकता के बिना।

आकार माप दो प्रकार के होते हैं: तिरछापन और कर्टोसिस। तिरछापन इंगित करता है कि वितरण कितना सममित है, जबकि कर्टोसिस इंगित करता है कि वितरण अपने माध्य के आसपास कितना केंद्रित है।

आकृति माप क्या हैं?

आकार माप की परिभाषा पर विचार करते हुए, यह खंड दिखाता है कि इस प्रकार के सांख्यिकीय पैरामीटर क्या हैं।

आँकड़ों में, हम दो प्रकार के मापों को अलग करते हैं:

तिरछापन : इंगित करता है कि कोई वितरण सममित है या असममित।
कर्टोसिस – इंगित करता है कि वितरण तीव्र या सपाट है।

विषमता

विषमता तीन प्रकार की होती है:

सकारात्मक विषमता : वितरण में माध्य के बाईं ओर की तुलना में दाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।
समरूपता : वितरण में माध्य के बाईं ओर मानों की संख्या उतनी ही होती है जितनी माध्य के दाईं ओर।
नकारात्मक तिरछापन : वितरण में माध्य के दाईं ओर की तुलना में बाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।

विषमता गुणांक

तिरछापन गुणांक , या विषमता सूचकांक , एक सांख्यिकीय गुणांक है जो वितरण की विषमता निर्धारित करने में मदद करता है। इस प्रकार, विषमता गुणांक की गणना करके, इसका ग्राफिकल प्रतिनिधित्व किए बिना वितरण की विषमता के प्रकार को जानना संभव है।

यद्यपि असममिति गुणांक की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र हैं, और हम उन सभी को नीचे देखेंगे, उपयोग किए गए सूत्र की परवाह किए बिना, विषमता गुणांक की व्याख्या हमेशा निम्नानुसार की जाती है:

यदि विषमता गुणांक सकारात्मक है, तो वितरण सकारात्मक रूप से विषम है।
यदि तिरछापन गुणांक शून्य है, तो वितरण सममित है।
यदि विषमता गुणांक ऋणात्मक है, तो वितरण ऋणात्मक रूप से विषम है।

फिशर की विषमता गुणांक

फिशर का तिरछापन गुणांक नमूना मानक विचलन द्वारा विभाजित माध्य के बारे में तीसरे क्षण के बराबर है। इसलिए, फिशर की विषमता गुणांक का सूत्र है:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

समान रूप से, फिशर के गुणांक की गणना के लिए निम्नलिखित दो सूत्रों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

सोना

$E$

गणितीय अपेक्षा है,

$\mu$

अंकगणित माध्य,

$\sigma$

मानक विचलन और

$N$

डेटा की कुल संख्या.

दूसरी ओर, यदि डेटा को समूहीकृत किया गया है तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

इस मामले में कहां

$x_i$

यह वर्ग और का प्रतीक है

$f_i$

पाठ्यक्रम की पूर्ण आवृत्ति.

पियर्सन का विषमता गुणांक

पियर्सन का तिरछापन गुणांक नमूना माध्य और मोड के बीच के अंतर को उसके मानक विचलन (या मानक विचलन) से विभाजित करने के बराबर है। इसलिए पियर्सन असममिति गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

सोना

$A_p$

पियर्सन गुणांक है,

$\mu$

अंकगणित माध्य,

$Mo$

फैशन और

$\sigma$

मानक विचलन.

ध्यान रखें कि पियर्सन तिरछापन गुणांक की गणना केवल तभी की जा सकती है जब यह एक यूनिमॉडल वितरण हो, अर्थात, यदि डेटा में केवल एक मोड है।

बाउली का विषमता गुणांक

बाउली का तिरछापन गुणांक तीसरे चतुर्थक और पहले चतुर्थक के योग के बराबर होता है, जिसमें से माध्यिका का दोगुना घटाकर तीसरे और पहले चतुर्थक के बीच के अंतर से विभाजित किया जाता है। इसलिए इस विषमता गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

सोना

$Q_1$

और

$Q_3$

क्रमशः प्रथम और तृतीय चतुर्थक हैं तथा

$Me$

वितरण का माध्यिका है.

सपाट

कर्टोसिस , जिसे तिरछापन भी कहा जाता है, यह दर्शाता है कि वितरण अपने माध्य के आसपास कितना केंद्रित है। दूसरे शब्दों में, कर्टोसिस इंगित करता है कि वितरण तीव्र या सपाट है। विशेष रूप से, किसी वितरण का कुर्टोसिस जितना अधिक होगा, वह उतना ही तेज़ (या तेज़) होगा।

चापलूसी तीन प्रकार की होती है:

लेप्टोकर्टिक : वितरण बहुत स्पष्ट है, इसका मतलब यह है कि डेटा माध्य के आसपास दृढ़ता से केंद्रित है। अधिक सटीक रूप से, लेप्टोकर्टिक वितरण को ऐसे वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सामान्य वितरण से अधिक तीव्र होते हैं।
मेसोकर्टिक : वितरण का कुर्टोसिस सामान्य वितरण के कुर्टोसिस के बराबर है। इसलिए इसे न तो नुकीला और न ही चपटा माना जाता है।
प्लैटिकुर्टिक : वितरण बहुत चपटा है, इसका मतलब है कि माध्य के आसपास एकाग्रता कम है। औपचारिक रूप से, प्लैटीकुर्टिक वितरण को ऐसे वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सामान्य वितरण की तुलना में अधिक सपाट होते हैं।

ध्यान दें कि विभिन्न प्रकार के कर्टोसिस को सामान्य वितरण के कर्टोसिस को संदर्भ के रूप में लेकर परिभाषित किया गया है।

चपटा गुणांक

कर्टोसिस गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

आवृत्ति तालिकाओं में समूहीकृत डेटा के लिए कर्टोसिस गुणांक का सूत्र:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

अंत में, अंतरालों में समूहीकृत डेटा के लिए कर्टोसिस गुणांक का सूत्र:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

सोना:

$g_2$

कर्टोसिस गुणांक है.
$N$

डेटा की कुल संख्या है.
$x_i$

श्रृंखला में ith डेटा है.
$\mu$

वितरण का अंकगणितीय माध्य है।
$\sigma$

वितरण का मानक विचलन (या विशिष्ट विचलन) है।
$f_i$

आईटी डेटा सेट की पूर्ण आवृत्ति है।
$c_i$

ith समूह का वर्ग चिह्न है।

ध्यान दें कि सभी कर्टोसिस गुणांक सूत्रों में, 3 घटाया जाता है क्योंकि यह सामान्य वितरण का कर्टोसिस मान है। इस प्रकार, कुर्टोसिस गुणांक की गणना सामान्य वितरण के कुर्टोसिस को संदर्भ के रूप में लेकर की जाती है। इसीलिए कभी-कभी आंकड़ों में कहा जाता है कि अत्यधिक कर्टोसिस की गणना की जाती है।

एक बार कर्टोसिस गुणांक की गणना हो जाने के बाद, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए ताकि यह पहचाना जा सके कि यह किस प्रकार का कर्टोसिस है:

यदि कर्टोसिस गुणांक सकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि वितरण लेप्टोकर्टिक है।
यदि कर्टोसिस गुणांक शून्य है, तो इसका मतलब है कि वितरण मेसोकर्टिक है।
यदि कर्टोसिस गुणांक ऋणात्मक है, तो इसका मतलब है कि वितरण प्लैटीकुर्टिक है।

अन्य प्रकार के सांख्यिकीय उपाय

आपको निम्नलिखित में से किसी भी सांख्यिकीय उपाय में रुचि हो सकती है, यह देखने के लिए एक पर क्लिक करें कि वे क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

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