घटनाएँ (संभावना)

यह आलेख बताता है कि संभाव्यता सिद्धांत में एक घटना क्या है। इसलिए आप जानेंगे कि संभाव्यता में घटनाओं के विभिन्न प्रकार क्या हैं, घटनाओं के उदाहरण और, घटनाओं के साथ क्या संचालन किया जा सकता है।

संभाव्यता घटनाएँ क्या हैं?

संभाव्यता सिद्धांत में, एक घटना एक यादृच्छिक प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम से मेल खाती है। इसलिए, किसी घटना की संभावना एक ऐसा मान है जो किसी परिणाम के घटित होने की संभावना को इंगित करता है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने में दो घटनाएँ होती हैं: “चित” और “पट”। इस स्थिति में, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना 0.50 या 50% है।

इसके अलावा, एक प्रयोग में घटनाओं का सेट नमूना स्थान बनाता है।

संभाव्यता में घटनाओं के उदाहरण

एक बार जब हम घटना की परिभाषा जान लेते हैं, तो अवधारणा को समझने के लिए हम घटनाओं के कई उदाहरण देखेंगे।

उदाहरण के लिए, एक पासे को घुमाने के यादृच्छिक प्रयोग में, छह संभावित घटनाएँ होती हैं, जिनमें ऊपर की ओर 1, 2, 3, 4, 5, या 6 होता है।

संभाव्यता सिद्धांत का एक और बहुत ही विशिष्ट उदाहरण ताश के पत्तों से एक कार्ड निकालना है। इस प्रकार, खेल में प्रत्येक कार्ड एक अलग घटना है।

घटनाओं के प्रकार

घटनाओं के प्रकार हैं:

• प्राथमिक घटना (या साधारण घटना): प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम।
• समग्र घटना: नमूना स्थान का एक उपसमूह है।
• निश्चित घटना: यह एक यादृच्छिक अनुभव का परिणाम है जो हमेशा घटित होता रहेगा।
• असंभव घटना: यह एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम है जो कभी घटित नहीं होगा।
• संगत घटनाएँ: दो घटनाएँ संगत होती हैं जब उनमें कोई प्राथमिक घटना समान होती है।
• असंगत घटनाएँ: दो घटनाएँ असंगत होती हैं जब वे किसी प्राथमिक घटना को साझा नहीं करती हैं।
• स्वतंत्र घटनाएँ: दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक के घटित होने की संभावना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।
• आश्रित घटनाएँ: दो घटनाएँ निर्भर होती हैं यदि एक के घटित होने की संभावना दूसरे के घटित होने की संभावना को बदल देती है।
• किसी अन्य के विपरीत घटना: यह वह घटना है जो तब घटित होती है जब दूसरी घटना घटित नहीं होती है।

नीचे हम प्रत्येक ईवेंट प्रकार को अधिक विस्तार से समझाते हैं और इसके अलावा, हम आपको प्रत्येक का एक उदाहरण भी दिखाते हैं।

प्राथमिक घटना

एक प्रारंभिक घटना एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रत्येक संभावित परिणाम है। नतीजतन, एक प्राथमिक घटना में नमूना स्थान का एक तत्व शामिल होता है।

उदाहरण के लिए, किसी पासे को घुमाते समय, छह संभावित प्रारंभिक घटनाएँ पासे के छह पहलू हैं, क्योंकि उनमें से कोई भी प्रकट हो सकता है।

समग्र घटना

एक मिश्रित घटना एक यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणामों का एक समूह है। इसलिए, एक मिश्रित घटना एकल घटनाओं का एक समूह और नमूना स्थान का एक उपसमूह है।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाते समय, मिश्रित घटनाओं के कई उदाहरणों की पहचान की जा सकती है। इस प्रकार, एक सम संख्या निकालना एक मिश्रित घटना है, क्योंकि इसमें तीन संभावित परिणाम शामिल हैं: संख्याएँ 2, 4 और 6।

सुरक्षा घटना

एक निश्चित घटना एक यादृच्छिक अनुभव का परिणाम है जो हमेशा घटित होगी। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित घटना किसी अनुभव की प्रारंभिक घटनाओं का समूह है।

इसलिए, एक सुरक्षित घटना में प्रयोग के नमूना स्थान के सभी तत्व शामिल होते हैं।

उदाहरण के लिए, जब आप एक पासे को घुमाते हैं, तो छह संभावित परिणाम होते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, या 6 को घुमाने पर। इसलिए, इस प्रयोग में एक निश्चित घटना का एक उदाहरण “7 से कम संख्या को घुमाना” होगा। ”, चूंकि परिणाम की परवाह किए बिना यह हमेशा पूरा होगा।

असंभव घटना

एक असंभव घटना एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम है जो कभी घटित नहीं होगी। दूसरे शब्दों में, किसी असंभव घटना के घटित होने की संभावना 0% है।

उदाहरण के लिए, जब आप पासे को घुमाते हैं, तो केवल छह घटनाएँ घटित हो सकती हैं: 1, 2, 3, 4, 5, या 6। इसलिए, इस प्रयोग में एक असंभव घटना “7 से बड़ी संख्या को घुमाना” है, क्योंकि यह परिणाम हो सकता है कभी प्राप्त नहीं होगा. सफल हो।

समर्थित घटनाएँ

दो या दो से अधिक घटनाएँ संगत होती हैं जब वे एक ही समय में घटित हो सकती हैं, अर्थात्, दो या दो से अधिक घटनाएँ संगत होती हैं यदि उनमें कोई प्रारंभिक घटना समान हो।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाते समय, दो संगत घटनाएँ “एक विषम संख्या को घुमाना” और “4 से बड़ी संख्या को घुमाना” होती हैं। ये दोनों घटनाएँ संगत हैं क्योंकि वे एक ही समय में घटित हो सकती हैं, क्योंकि संख्या 5 एक विषम संख्या है और साथ ही, यह 4 से बड़ी संख्या है।

असंगत घटनाएँ

दो या दो से अधिक घटनाएँ तब असंगत होती हैं जब वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकती हैं, अर्थात्, दो या दो से अधिक घटनाएँ असंगत होती हैं जब उनमें कोई प्राथमिक घटना समान नहीं होती है।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाते समय दो असंगत घटनाएँ “एक सम संख्या को घुमाना” और “2 से कम संख्या को घुमाना” हैं। दोनों घटनाएँ असंगत हैं क्योंकि वे कभी भी एक ही समय में घटित नहीं होंगी, क्योंकि दो से कम संख्या केवल 1 ही प्राप्त की जा सकती है, जो विषम है।

स्वतंत्र घटनाएँ

स्वतंत्र घटनाएँ एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं जिनके घटित होने की संभावना एक दूसरे पर निर्भर नहीं करती है। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि घटना A के घटित होने की संभावना घटना B के घटित होने पर निर्भर नहीं करती है और इसके विपरीत।

उदाहरण के लिए, जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो “पहली उछाल पर चित आना” और “दूसरी बार उछाल पर चित आना” की घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, क्योंकि दूसरी बार उछाल पर चित या पट आना, परिणाम पर निर्भर नहीं होता है। दूसरा टॉस. पहला फेंक. फेंक। .

आश्रित घटनाएँ

आश्रित घटनाएँ एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं जिनके घटित होने की संभावना एक दूसरे पर निर्भर करती है। अर्थात्, दो घटनाएँ निर्भर होती हैं यदि एक घटना के घटित होने की संभावना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित करती है।

उदाहरण के लिए, एक ही डेक से लगातार दो कार्ड निकालना दो निर्भर घटनाएँ हैं, क्योंकि दूसरे ड्रा के दौरान “हीरे के कार्ड 3 निकालने” की संभावना पहले ड्रा के दौरान अधिक होती है, क्योंकि खेल में एक कार्ड कम होता है। . दूसरी ओर, दूसरी ड्राइंग के दौरान उक्त कार्ड निकलने की संभावना शून्य है यदि यह पहले ड्राइंग के दौरान पहले ही निकाला जा चुका है। इसलिए दूसरी घटना के घटित होने की संभावना पहली घटना के परिणाम पर निर्भर करती है।

विपरीत घटना

एक विपरीत घटना , जिसे पूरक घटना भी कहा जाता है, एक यादृच्छिक प्रयोग में दी गई घटना का विपरीत परिणाम है। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ पूरक हैं यदि एक दूसरे के विपरीत परिणाम है।

हम लॉट के चित्रण में विपरीत घटनाओं का एक बहुत स्पष्ट उदाहरण पा सकते हैं। “हेड्स” इवेंट और “हेड्स” इवेंट विपरीत हैं क्योंकि वे एक दूसरे के विपरीत हैं। यदि आप ध्यान दें, जब दो घटनाओं में से एक घटित होती है, तो दूसरी घटित नहीं हो सकती।

घटना गुण

इवेंट गुण इस प्रकार हैं:

• किसी भी घटना की प्रायिकता 1 के बराबर या उससे कम होती है।

• यदि घटना A को घटना B में शामिल किया जाता है, तो घटना A के घटित होने की संभावना B की संभावना के बराबर या उससे कम होगी।

• किसी असंभव घटना की संभावना सदैव शून्य होती है।

• यदि A , A के विपरीत एक घटना है, तो घटना A की संभावना, घटना A की संभावना से 1 घटा के बराबर है।

घटनाओं के साथ संचालन

संभाव्यता सिद्धांत में, घटनाओं के साथ तीन प्रकार के ऑपरेशन होते हैं, जो हैं:

• घटनाओं का मिलन: यह संभावना है कि कोई न कोई घटना घटित होगी।
• घटनाओं का प्रतिच्छेदन: यह दो या दो से अधिक घटनाओं की संयुक्त संभावना है।
• घटना अंतर: यह संभावना है कि एक घटना घटित होती है लेकिन दूसरी घटना उसी समय घटित नहीं होती है।