घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। तो आपको पता चल जाएगा कि घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना का सूत्र क्या है और इसके अलावा, चरण दर चरण हल किए गए अभ्यास भी।

घटनाओं का प्रतिच्छेदन क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत में, घटनाओं का प्रतिच्छेदन घटनाओं का एक संचालन है जिसका परिणाम ऑपरेशन की सभी घटनाओं के लिए सामान्य प्राथमिक घटनाओं से बना होता है। अर्थात्, घटनाओं A और B का प्रतिच्छेदन उन सभी घटनाओं से बनता है जो एक ही समय में A और B से संबंधित हैं।

दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन को प्रतीक ⋂ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस प्रकार, घटनाओं A और B का प्रतिच्छेदन A⋂B लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाने के यादृच्छिक प्रयोग में, यदि एक घटना यह है कि एक सम संख्या को घुमाया जाता है A={2, 4, 6} और दूसरी घटना यह है कि तीन से बड़ी संख्या को घुमाया जाता है B={4, 5, 6 }, दोनों घटनाओं का प्रतिच्छेदन A⋂B={4, 6} है।

घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना का सूत्र

दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना एक घटना के घटित होने की संभावना के बराबर होती है, जो पहली घटना के बाद दूसरी घटना के घटित होने की सशर्त संभावना से गुणा होती है।

इसलिए, दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना का सूत्र P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B) है।

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

सोना:

$A$

और

$B$

ये दो आश्रित घटनाएँ हैं।
$P(A\cap B)$

घटना ए और घटना बी के प्रतिच्छेदन की संभावना है।
$P(A)$

संभावना है कि घटना A घटित होगी।
$P(B|A)$

दी गई घटना A के घटित होने की सशर्त संभाव्यता घटना B है।
$P(B)$

संभावना है कि घटना बी घटित होगी।
$P(A|B)$

दी गई घटना बी के घटित होने की सशर्त संभावना घटना ए है।

➤ देखें: सशर्त संभाव्यता (या सशर्त संभाव्यता)

हालाँकि, यदि दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो इसका मतलब है कि एक घटना के घटित होने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि दूसरी घटना घटित होती है या नहीं। इसलिए, दो स्वतंत्र घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

सोना:

$A$

और

$B$

ये दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A\cap B)$

घटना घटना ए और घटना बी के प्रतिच्छेदन की संभावना है।
$P(A)$

संभावना है कि घटना A घटित होगी।
$P(B)$

संभावना है कि घटना बी घटित होगी।

➤ देखें:स्वतंत्र घटनाएँ

घटना प्रतिच्छेदन संभाव्यता के वास्तविक दुनिया के उदाहरण

आगे, हम आपके लिए चरण दर चरण हल किए गए दो उदाहरण छोड़ते हैं ताकि आप देख सकें कि दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे की जाती है। हम पहले दो स्वतंत्र घटनाओं और फिर दो आश्रित घटनाओं के प्रतिच्छेदन का एक उदाहरण देखेंगे, ताकि आप दोनों मामलों को देख सकें।

दो स्वतंत्र घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता

एक ड्रा लगातार तीन बार लॉन्च किया जाता है। तीनों उछालों पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

इस मामले में, जिन घटनाओं के लिए हम संयुक्त संभावना की गणना करना चाहते हैं वे स्वतंत्र हैं, क्योंकि ड्रॉ का परिणाम पिछले ड्रॉ में प्राप्त परिणाम पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, लगातार तीन शीर्ष प्राप्त करने की संभावना निर्धारित करने के लिए, हमें स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रतिच्छेदन संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

लॉटरी निकालते समय, केवल दो संभावित परिणाम होते हैं, हम चित या पट प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए, सिक्का उछालने पर चित या पट आने की प्रायिकता है:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

इसलिए, सिक्कों के तीनों उछालों पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हमें चित आने की प्रायिकता को तीन से गुणा करना होगा:

$\begin{aligned}P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})&=P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\\[2ex]&=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\\[2ex]&=0,125\end{aligned}$

संक्षेप में, लगातार तीन बार चित आने की संभावना 12.5% है।

दो आश्रित घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना

एक खाली डिब्बे में हमने 8 नीली गेंदें, 4 नारंगी गेंदें और 2 हरी गेंदें रखीं। यदि हम पहले एक गेंद निकालते हैं, फिर दूसरी गेंद निकालते हैं और पहली गेंद को वापस डिब्बे में डाले बिना, तो क्या प्रायिकता है कि पहली गेंद नीली और दूसरी गेंद नारंगी है?

इस मामले में, घटनाएँ निर्भर हैं, क्योंकि दूसरे ड्रॉ में नारंगी गेंद लेने की संभावना पहले ड्रॉ में निकाली गई गेंद के रंग पर निर्भर करती है। इसलिए, समस्या द्वारा हमसे पूछी गई संभाव्यता की गणना करने के लिए, हमें आश्रित घटनाओं के लिए प्रतिच्छेदन संभाव्यता के सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

पहले ड्रा में नीली गेंद प्राप्त करने की संभावना निर्धारित करना आसान है, बस नीली गेंदों की संख्या को गेंदों की कुल संख्या से विभाजित करें:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

दूसरी ओर, नीली गेंद लेने के बाद नारंगी गेंद निकालने की संभावना की गणना अलग-अलग तरीके से की जाती है क्योंकि नारंगी गेंदों की संख्या अलग-अलग होती है और इसके अलावा, अब बॉक्स के अंदर एक गेंद कम हो जाती है:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

इस प्रकार, पहले नीली गेंद और फिर नारंगी गेंद निकालने की संभावना की गणना ऊपर दी गई दो संभावनाओं को गुणा करके की जाती है:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ देखें: घटनाओं के मिलन की संभावना

घटना प्रतिच्छेदन गुण

संभाव्यता सिद्धांत में, घटनाओं के प्रतिच्छेदन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

क्रमविनिमेय संपत्ति: प्रतिच्छेदन घटनाओं का क्रम ऑपरेशन के परिणाम को नहीं बदलता है।

$A\cap B=B\cap A$

साहचर्य संपत्ति: तीन घटनाओं के प्रतिच्छेदन की गणना किसी भी क्रम में की जा सकती है, क्योंकि परिणाम समान है।

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

वितरणात्मक संपत्ति: घटनाओं का प्रतिच्छेदन घटनाओं के मिलन पर वितरणात्मक संपत्ति को संतुष्ट करता है।

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

➤ देखें: घटनाओं के साथ संचालन

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने