घटनाओं के साथ संचालन

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 6, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यहां हम बताते हैं कि घटनाओं के साथ कौन से ऑपरेशन किए जा सकते हैं और घटनाओं के साथ प्रत्येक प्रकार के ऑपरेशन की गणना कैसे की जाती है। इसके अतिरिक्त, आप घटनाओं के साथ संचालन पर चरण-दर-चरण अभ्यास कर सकते हैं।

घटनाओं के साथ संचालन के प्रकार

संभाव्यता सिद्धांत में, घटनाओं के साथ तीन प्रकार के ऑपरेशन होते हैं, जो हैं:

घटनाओं का मिलन : यह संभावना है कि कोई न कोई घटना घटित होगी।
घटनाओं का प्रतिच्छेदन : यह दो या दो से अधिक घटनाओं की संयुक्त संभावना है।
घटना अंतर : यह संभावना है कि एक घटना घटित होती है लेकिन दूसरी घटना उसी समय घटित नहीं होती है।

प्रत्येक प्रकार के इवेंट ऑपरेशन को सरलता से परिभाषित करके, यह समझना मुश्किल है कि प्रत्येक प्रकार का ऑपरेशन कैसे किया जाता है। इसलिए, हम नीचे तीन ऑपरेशनों के बारे में अधिक विस्तार से बताएंगे।

घटनाओं का मिलन

दो घटनाओं ए और बी का मिलन इस बात की संभावना है कि घटना ए, घटना बी, या दोनों घटनाएं एक ही समय में घटित होती हैं।

दो अलग-अलग घटनाओं के मिलन का प्रतीक U है, इसलिए दो घटनाओं के मिलन को दो अक्षरों के बीच में U द्वारा व्यक्त किया जाता है जो घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

$A\cup B$

दो घटनाओं के मिलन की प्रायिकता प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकता के योग के बराबर होती है जिसमें दोनों घटनाओं के मिलने की प्रायिकता को घटा दिया जाता है।

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

उदाहरण के लिए, हम पासे को घुमाते समय “एक सम संख्या को घुमाने” या “4 से बड़ी संख्या को घुमाने” की घटनाओं की संभावना की गणना करेंगे।

पासे को घुमाते समय एक सम संख्या प्राप्त करने की तीन संभावनाएँ हैं (2, 4 और 6), इसलिए घटना के घटित होने की संभावना है:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

दूसरी ओर, चार (5 और 6) से बड़ी केवल दो संख्याएँ हैं, इसलिए उनकी संभावना है:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

और दोनों घटनाओं का प्रतिच्छेदन उन संख्याओं से मेल खाता है जो दोनों घटनाओं में दिखाई देती हैं, इसलिए:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

संक्षेप में, घटनाओं ए और बी को जोड़ने पर, घटित होने की संभावना होगी:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

घटनाओं का प्रतिच्छेदन

दो घटनाओं A और B का प्रतिच्छेदन प्रायिकता है कि दोनों घटनाएँ A और B एक ही समय में घटित होती हैं।

दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन के प्रतीक को उल्टे U द्वारा दर्शाया जाता है।

$A\cap B$

दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना प्रत्येक घटना की अलग-अलग संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

जाहिर है, दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना करने के लिए, इन दोनों घटनाओं का संगत होना आवश्यक है।

➤ देखें: कौन सी घटनाएँ संगत हैं?

उदाहरण के तौर पर, हम इस संभावना का पता लगाएंगे कि घटनाएँ “एक सम संख्या प्राप्त करें” और “4 से बड़ी संख्या प्राप्त करें” पासा रोल के दौरान प्रतिच्छेद करती हैं।

जैसा कि हमने ऊपर गणना की है, प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना है:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

इस प्रकार, दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं का गुणन होगी:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

घटनाओं का अंतर

दो घटनाओं ए शून्य बी का अंतर ए की सभी प्रारंभिक घटनाओं से मेल खाता है जो बी में नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, दो घटनाओं ए शून्य बी के अंतर में, घटना ए संतुष्ट है लेकिन घटना बी एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकती है।

$A-B$

दो घटनाओं ए और बी के बीच अंतर की संभावना, घटना ए के घटित होने की संभावना के बराबर है, जिसमें से ए और बी द्वारा साझा की गई प्राथमिक घटनाओं के घटित होने की संभावना को घटा दिया जाता है।

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

पिछले दो प्रकार के ऑपरेशनों के समान उदाहरण का अनुसरण करते हुए, हम पासा पलटते समय “सम संख्या प्राप्त करना” घटाकर “4 से अधिक संख्या प्राप्त करना” घटना के अंतर से ऐसा होने की संभावना निर्धारित करेंगे।

घटनाओं ए, बी और उनके प्रतिच्छेदन की संभावनाएँ इस प्रकार हैं (आप ऊपर विस्तृत गणना देख सकते हैं):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

इसलिए दोनों घटनाओं के बीच अंतर दिखने की प्रायिकता है:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

एक जिज्ञासा के रूप में, घटनाओं के अंतर एबी में घटना ए और बी की पूरक (या विपरीत) घटना के बीच प्रतिच्छेदन के बराबर होने का गुण भी है।

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ देखें: पूरक घटना क्या है?

घटनाओं के साथ संचालन पर हल किए गए अभ्यास

अभ्यास 1

यदि आप छह भुजाओं वाला पासा उछालते हैं, तो एक विषम संख्या या 3 से कम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

समाधान देखें

इस अभ्यास में हमें किसी न किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता की गणना करनी होगी, इसलिए हमें दो घटनाओं के मिलन की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी।

इसलिए हम पहले लाप्लास के नियम को लागू करके एक विषम संख्या प्राप्त करने की संभावना की गणना करते हैं:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

दूसरा, हम 3 से कम संख्या प्राप्त करने की संभावना निर्धारित करते हैं:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

आइए अब प्रारंभिक घटनाओं की संभावना की गणना करें जो घटनाओं में दोहराई जाती हैं, जो केवल संख्या 1 है (3 से केवल विषम):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

और अंत में, हम दो घटनाओं के मिलन का सूत्र उनकी संभाव्यता ज्ञात करने के लिए लागू करते हैं:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

व्यायाम 2

एक डिब्बे में हमने 3 नारंगी गेंदें, 2 नीली गेंदें और 5 सफेद गेंदें रखीं। हम एक गेंद को उठाने, उसे वापस बॉक्स में डालने, फिर दूसरी गेंद निकालने का यादृच्छिक प्रयोग करते हैं। पहली गेंद नीली और दूसरी गेंद नारंगी निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान देखें

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की गणना करनी चाहिए, क्योंकि हम चाहते हैं कि दोनों प्राथमिक घटनाएँ सत्य हों।

इसलिए हम पहले लाप्लास के नियम को लागू करके नीली गेंद को पकड़ने की संभावना की गणना करते हैं:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

फिर हम नारंगी गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

और, अंत में, हम पाई गई दो संभावनाओं को गुणा करके दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना करते हैं:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

निष्कर्षतः, पहली कोशिश में नीली गेंद और दूसरी कोशिश में नारंगी गेंद पकड़ने की केवल 6% संभावना है।

व्यायाम 3

मार्टा के एक परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 1/3 है और जुआन के उसी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 2/5 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि मार्ता सफल हो जाती है और जुआन असफल हो जाता है?

समाधान देखें

इस अभ्यास में हमें दो घटनाओं के बीच अंतर की गणना करने की आवश्यकता है, क्योंकि हम चाहते हैं कि मार्टा अनुमोदन करे लेकिन जुआन नहीं। ऐसा करने के लिए, बस घटनाओं के साथ इस प्रकार के ऑपरेशन के लिए सूत्र का उपयोग करें:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

इसलिए एक ही समय में मार्टा के सफल होने और जुआन के विफल होने की संभावना 20% है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

घटनाओं के साथ संचालन के प्रकार

घटनाओं का मिलन

घटनाओं का प्रतिच्छेदन

घटनाओं का अंतर

घटनाओं के साथ संचालन पर हल किए गए अभ्यास

अभ्यास 1

व्यायाम 2

व्यायाम 3

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