ज्यामितीय वितरण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सांख्यिकी में ज्यामितीय वितरण क्या है। इसलिए आपको ज्यामितीय वितरण की परिभाषा, ज्यामितीय वितरण के उदाहरण और इस प्रकार के संभाव्यता वितरण के गुण मिलेंगे। इसके अतिरिक्त, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर से ज्यामितीय वितरण की किसी भी संभावना की गणना कर सकते हैं।

ज्यामितीय वितरण क्या है?

ज्यामितीय वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो पहले सफल परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक बर्नौली परीक्षणों की संख्या को परिभाषित करता है।

अर्थात्, एक ज्यामितीय वितरण मॉडल प्रक्रियाएँ जिसमें बर्नौली प्रयोग तब तक दोहराए जाते हैं जब तक कि उनमें से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त नहीं कर लेता।

याद रखें कि बर्नौली परीक्षण एक ऐसा प्रयोग है जिसके दो संभावित परिणाम हैं: “सफलता” और “असफलता।” इसलिए यदि “सफलता” की संभावना p है, तो “असफलता” की संभावना q=1-p है।

इसलिए ज्यामितीय वितरण पैरामीटर p पर निर्भर करता है, जो कि किए गए सभी प्रयोगों की सफलता की संभावना है। इसके अलावा, प्रायिकता p सभी प्रयोगों के लिए समान है।

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

इसी प्रकार, ज्यामितीय वितरण को पहली सफलता से पहले विफलताओं की संख्या के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। इस मामले में, वितरण मान x=0 ले सकता है और इसका सूत्र थोड़ा भिन्न होता है। लेकिन सबसे आम बात इस खंड की शुरुआत में बताई गई ज्यामितीय वितरण की परिभाषा पर लौटना है।

ज्यामितीय वितरण उदाहरण

एक बार जब हमने ज्यामितीय वितरण की परिभाषा देख ली, तो यह खंड इस प्रकार के वितरण का अनुसरण करने वाले यादृच्छिक चर के कई उदाहरण दिखाता है।

ज्यामितीय वितरण के उदाहरण:

हेड प्राप्त होने तक सिक्कों को उछालने की संख्या।
किसी सड़क से गुजरने वाली कारों की संख्या जब तक उन्हें कोई लाल कार दिखाई न दे।
किसी व्यक्ति को ड्राइविंग टेस्ट पास करने तक कितनी बार देना होगा।
संख्या 6 लुढ़कने तक पासों के पलटने की संख्या।
गोल होने तक फ्री थ्रो की संख्या।

ज्यामितीय वितरण सूत्र

एक ज्यामितीय वितरण में, सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए x परीक्षण करने की संभावना x-1 की शक्ति के लिए पैरामीटर p गुना (1-p) का उत्पाद है।

इसलिए, ज्यामितीय वितरण की संभावना की गणना करने का सूत्र है:

👉 आप ज्यामितीय वितरण का अनुसरण करने वाले एक चर की संभावना की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

दूसरी ओर, वितरण फ़ंक्शन का सूत्र जो ज्यामितीय वितरण की संचयी संभावना की गणना करना संभव बनाता है वह इस प्रकार है:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

ज्यामितीय वितरण अभ्यास हल किया गया

पासे के तीसरे रोल पर संख्या 5 आने की प्रायिकता क्या है?

इस समस्या का संभाव्यता वितरण एक ज्यामितीय वितरण है, क्योंकि यह एक सफल परिणाम (संख्या 5) प्राप्त करने के लिए आवश्यक थ्रो (तीन) की संख्या को परिभाषित करता है।

इसलिए हमें पहले प्रत्येक प्रक्षेपण की सफलता की संभावना की गणना करनी चाहिए। इस मामले में, छह संभावित परिणामों में से केवल एक सकारात्मक परिणाम है, इसलिए संभावना पी है:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

और फिर हम उस संभावना को निर्धारित करने के लिए ज्यामितीय वितरण सूत्र लागू करते हैं जो अभ्यास हमसे पूछता है:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

ज्यामितीय वितरण विशेषताएँ

ज्यामितीय वितरण निम्नलिखित विशेषताओं को पूरा करता है:

ज्यामितीय वितरण में एक विशिष्ट पैरामीटर, पी है, जो किए गए प्रत्येक प्रयोग की सफलता की संभावना है।

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

ज्यामितीय वितरण का विचरण p के वर्ग पर 1 ऋण p के अंतर के बराबर है।

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

ज्यामितीय वितरण के द्रव्यमान फलन का सूत्र है:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

इसी प्रकार, ज्यामितीय वितरण के संचयी संभाव्यता फलन का सूत्र है:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

ज्यामितीय वितरण ऋणात्मक द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है। अधिक सटीक रूप से, यह पैरामीटर r=1 के साथ एक नकारात्मक द्विपद वितरण के बराबर है।

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ देखें: नकारात्मक द्विपद वितरण
➤ देखें: द्विपद वितरण

ज्यामितीय वितरण कैलकुलेटर

संभाव्यता की गणना करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर में पैरामीटर p का मान और x का मान दर्ज करें। आपको उस संभावना का चयन करना होगा जिसकी आप गणना करना चाहते हैं और दशमलव विभाजक के रूप में बिंदु का उपयोग करके संख्याएं दर्ज करें, उदाहरण के लिए 0.1667।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने