सांख्यिकी में निरंतरता सुधार की एक सरल व्याख्या

निरंतरता सुधार तब लागू किया जाता है जब आप किसी असतत वितरण का अनुमान लगाने के लिए निरंतर वितरण का उपयोग करना चाहते हैं। आम तौर पर, इसका उपयोग तब किया जाता है जब आप द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करना चाहते हैं।

याद रखें कि द्विपद वितरण हमें n परीक्षणों में x सफलता प्राप्त करने की संभावना बताता है, यह देखते हुए कि एकल परीक्षण में सफलता की संभावना p है। द्विपद वितरण के साथ संभाव्यता के बारे में प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, हम बस एक द्विपद वितरण कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन हम निरंतरता सुधार के साथ सामान्य वितरण का उपयोग करके भी संभावना का अनुमान लगा सकते हैं।

निरंतरता सुधार एक असतत x मान से 0.5 जोड़ने या घटाने को दिया गया नाम है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम इस संभावना का पता लगाना चाहते हैं कि एक सिक्का 100 बार उछालने के दौरान 45 बार से कम या उसके बराबर हेड पर गिरेगा। अर्थात्, हम P(X ≤ 45) ज्ञात करना चाहते हैं। द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करने के लिए, हम इसके बजाय P(X ≤ 45.5) पाएंगे।

निम्न तालिका दर्शाती है कि आपको 0.5 कब जोड़ना या घटाना चाहिए, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस प्रकार की संभाव्यता खोजने का प्रयास कर रहे हैं:

टिप्पणी:

द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण में निरंतरता सुधार लागू करना तभी उचित है जब n*p और n*(1-p) दोनों कम से कम 5 हों।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए n = 15 और p = 0.6। इस मामले में:

एन*पी = 15 * 0.6 = 9

एन*(1-पी) = 15 * (1 – 0.6) = 15 * (0.4) = 6

चूँकि ये दोनों संख्याएँ 5 से अधिक या उसके बराबर हैं, इसलिए इस परिदृश्य में निरंतरता सुधार लागू करना स्वीकार्य होगा।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है कि द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण में निरंतरता सुधार कैसे लागू किया जाए।

निरंतरता सुधार के अनुप्रयोग का उदाहरण

मान लीजिए कि हम इसकी प्रायिकता जानना चाहते हैं कि एक सिक्का 100 बार उछालने पर 43 बार से कम या इसके बराबर चित्त पर गिरेगा। इस मामले में:

n = परीक्षणों की संख्या = 100

एक्स = सफलताओं की संख्या = 43

p = किसी दिए गए परीक्षण में सफलता की संभावना = 0.50

हम यह देखने के लिए इन संख्याओं को द्विपद वितरण कैलकुलेटर में प्लग कर सकते हैं कि सिक्के के 43 गुना से कम या उसके बराबर सिर पर उतरने की संभावना 0.09667 है।

सामान्य वितरण में निरंतरता सुधार लागू करके द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

चरण 1: सत्यापित करें कि n*p और n*(1-p) दोनों कम से कम 5 हैं।

एन*पी = 100*0.5 = 50

एन*(1-पी) = 100*(1 – 0.5) = 100*0.5 = 50

दोनों संख्याएँ 5 से बड़ी या उसके बराबर हैं, इसलिए हम जारी रख सकते हैं।

चरण 2: निर्धारित करें कि 0.5 जोड़ना है या घटाना है

उपरोक्त तालिका का संदर्भ लेते हुए, हम देखते हैं कि जब हम X ≤ 43 के रूप में संभाव्यता के साथ काम करते हैं तो हमें 0.5 जोड़ना होता है। इस प्रकार, हम P(X< 43.5) पाएंगे।

चरण 3: द्विपद वितरण का माध्य (μ) और मानक विचलन (σ) ज्ञात करें।

µ = n*p = 100*0.5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

चरण 4: पिछले चरण में पाए गए माध्य और मानक विचलन का उपयोग करके z-स्कोर ज्ञात करें।

z = (x – μ) / σ = (43.5 – 50) / 5 = -6.5 / 5 = -1.3.

चरण 5: z स्कोर से जुड़ी संभावना जानने के लिए Z तालिका का उपयोग करें।

तालिका Z के अनुसार, z = -1.3 से जुड़ी संभावना 0.0968 है।

तो द्विपद वितरण का उपयोग करके हमने जो सटीक संभावना पाई वह 0.09667 थी जबकि सामान्य वितरण के साथ निरंतरता सुधार का उपयोग करके हमने जो अनुमानित संभावना पाई वह 0.0968 थी। ये दोनों मान काफी बंद हैं।

निरंतरता सुधार का उपयोग कब करें

आधुनिक सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर के अस्तित्व में आने और गणनाएँ मैन्युअल रूप से करने से पहले, निरंतरता सुधार का उपयोग अक्सर असतत वितरण से जुड़ी संभावनाओं को खोजने के लिए किया जाता था। आज, निरंतरता सुधार संभावनाओं की गणना में कम भूमिका निभाते हैं क्योंकि हम आमतौर पर संभावनाओं की गणना करने के लिए सॉफ्टवेयर या कैलकुलेटर पर भरोसा कर सकते हैं।

इसके बजाय, यह द्विपद वितरण और सामान्य वितरण के बीच संबंध को स्पष्ट करने और यह दिखाने के लिए सांख्यिकी पाठ्यक्रमों में शामिल एक विषय है कि निरंतरता सुधार लागू करके सामान्य वितरण के लिए द्विपद वितरण का अनुमान लगाना संभव है।

निरंतरता सुधार कैलकुलेटर

द्विपद संभावनाओं को अनुमानित करने के लिए सामान्य वितरण में स्वचालित रूप से निरंतरता सुधार लागू करने के लिए निरंतरता सुधार कैलकुलेटर का उपयोग करें।