परस्पर अनन्य कार्यक्रम

यहां हम बताते हैं कि परस्पर अनन्य घटनाएँ क्या हैं। आप परस्पर अनन्य घटनाओं के उदाहरण भी देखेंगे और उनके घटित होने की संभावना की गणना कैसे करें। अंत में, आप सीखेंगे कि परस्पर अनन्य घटनाओं और अन्य प्रकार की घटनाओं के बीच क्या अंतर हैं।

परस्पर अनन्य घटनाएँ क्या हैं?

परस्पर अनन्य घटनाएँ एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं जो एक ही समय में घटित नहीं हो सकती हैं। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ परस्पर अनन्य होती हैं जब उनमें एक भी घटना समान नहीं होती।

परस्पर अपवर्जी घटनाओं को परस्पर अपवर्जी घटनाएँ भी कहा जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह पर्याप्त नहीं है कि दो घटनाएँ परस्पर अनन्य होने के लिए एक साथ घटित न हों; यदि ऐसी कोई संभावना है कि ऐसी घटनाएँ कभी भी एक साथ घटित हो सकती हैं, तो वे अब उस प्रकार की घटनाएँ नहीं हैं। दो घटनाओं के परस्पर अनन्य होने के लिए, उनकी संयुक्त घटना की संभावना शून्य होनी चाहिए।

परस्पर अनन्य घटनाओं के उदाहरण

एक बार जब हमने परस्पर अनन्य घटनाओं की परिभाषा देख ली, तो नीचे आप उनके अर्थ को पूरी तरह से समझने के लिए इस प्रकार की घटनाओं के कई उदाहरण देख सकते हैं।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने में “हेड्स” और “टेल्स” की घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं, क्योंकि वे कभी भी एक साथ घटित नहीं होंगी।

हम पासे के रोल में परस्पर अनन्य घटनाओं के अन्य उदाहरण भी पा सकते हैं। जब हम एक पासा उछालते हैं, तो छह संभावित परिणाम होते हैं (1, 2, 3, 4, 5 और 6), लेकिन हम केवल एक संख्या ही उछाल सकते हैं, इसलिए छह परिणाम परस्पर अनन्य होते हैं।

परस्पर अनन्य घटनाओं की संभावना

एक ही समय में दो परस्पर अनन्य घटनाओं के घटित होने की संभावना शून्य है , क्योंकि परिभाषा के अनुसार, दोनों घटनाएँ एक साथ नहीं रह सकतीं। इस प्रकार, दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं का प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय है।

दूसरी ओर, परस्पर अपवर्जी घटनाओं के एक जोड़े से किसी घटना के घटित होने की संभावना प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावनाओं का योग होती है।

ताकि आप देख सकें कि दो परस्पर अनन्य घटनाओं के घटित होने की संभावना की गणना कैसे की जाती है, हम आपके लिए नीचे एक हल किया हुआ अभ्यास छोड़ते हैं।

• एक डिब्बे में हमने 5 हरी गेंदें, 4 पीली गेंदें और 2 नीली गेंदें रखीं। बॉक्स से नारंगी या नीली गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?

जाहिर है, तीन घटनाएं “एक हरी गेंद निकालें” , “एक पीली गेंद बनाएं” और “एक नीली गेंद बनाएं” परस्पर अनन्य हैं क्योंकि वे एक ही समय में नहीं हो सकती हैं। इसलिए, “हरी गेंद या नीली गेंद निकालने” की संभावना खोजने के लिए, हमें पहले दो घटनाओं की संभावनाओं की अलग-अलग गणना करनी होगी और फिर उन्हें एक साथ जोड़ना होगा।

इस प्रकार, हम लाप्लास के नियम को लागू करके बॉक्स से हरी गेंद निकालने की संभावना की गणना करते हैं:

फिर हम नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:

तो हरी गेंद या नीली गेंद को पकड़ने की कुल संभावना दो गणना की गई संभावनाओं का योग होगी:

परस्पर अनन्य और परस्पर गैर-अनन्य घटनाएँ

तार्किक रूप से, परस्पर अनन्य घटनाओं और परस्पर गैर-अनन्य घटनाओं के बीच का अंतर उनकी विशिष्टता है। दो परस्पर अनन्य घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं, लेकिन दो परस्पर गैर-विशिष्ट घटनाएँ एक साथ घटित हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, किसी गेम में यादृच्छिक कार्ड निकालते समय, इवेंट “डायमंड कार्ड बनाएं” और “हार्ट कार्ड बनाएं ” परस्पर अनन्य होते हैं, क्योंकि कोई भी कार्ड डायमंड कार्ड और हार्ट कार्ड दोनों नहीं हो सकता है।

इसके विपरीत, उसी उदाहरण का अनुसरण करते हुए, घटनाएँ “एक डायमंड कार्ड निकालें” और “7 से कम संख्या वाला एक कार्ड निकालें” परस्पर अनन्य नहीं हैं, क्योंकि ऐसे कई कार्ड हैं जो इन दो शर्तों को पूरा करते हैं।

परस्पर अनन्य और पूरक घटनाएँ

दो परस्पर अनन्य घटनाओं और दो पूरक घटनाओं के बीच अंतर यह है कि वे सामूहिक रूप से अनन्य घटनाएँ हैं या नहीं। परस्पर अनन्य घटनाओं का सामूहिक रूप से अनन्य होना आवश्यक नहीं है, जबकि पूरक घटनाएँ हमेशा होती हैं।

अर्थात्, दो परस्पर अनन्य घटनाएँ एक अनुभव के दो अलग-अलग परिणाम हैं जिनमें वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकते हैं, लेकिन जिसमें एक और घटना अभी भी घटित हो सकती है। इसके विपरीत, दो घटनाएँ पूरक होती हैं जब वे एक यादृच्छिक प्रयोग के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं और एक साथ घटित नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाने की दो पूरक घटनाएँ होंगी “3 से कम या उसके बराबर की संख्या को घुमाना” और “3 से बड़ी संख्या को घुमाना”। लेकिन दो परस्पर अनन्य घटनाएँ होंगी “नंबर 1 प्राप्त करना” और “नंबर 2 प्राप्त करना” , क्योंकि उनमें से एक के घटित होने का अर्थ है कि दूसरा नहीं हो सकता है, हालाँकि, हम अभी भी उसी फेंक से अन्य नंबर प्राप्त कर सकते हैं।

अंततः, सभी पूरक घटनाएँ परस्पर अनन्य होती हैं , लेकिन दो परस्पर अनन्य घटनाएँ आवश्यक रूप से पूरक नहीं होती हैं।

परस्पर अनन्य घटनाएँ और स्वतंत्र घटनाएँ

इस खंड में, हम परस्पर अनन्य घटनाओं और स्वतंत्र घटनाओं के बीच अंतर को समझाना चाहते हैं, क्योंकि ये दो अवधारणाएं हैं जिन्हें संभाव्यता और आंकड़ों का अध्ययन करते समय स्पष्ट होना आवश्यक है।

परस्पर अपवर्जी घटनाओं और स्वतंत्र घटनाओं के बीच अंतर यह है कि परस्पर अपवर्जी घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं। इसके बजाय, स्वतंत्र घटनाएँ एक ही समय में घटित हो सकती हैं, लेकिन एक घटना की संभावना दूसरे को प्रभावित नहीं करती है।

उदाहरण के लिए, जब एक सिक्के को लगातार दो बार उछाला जाता है, तो घटनाएँ “पहली उछाल पर चित” और “दूसरी उछाल पर चित” स्वतंत्र होती हैं क्योंकि एक घटना के घटित होने का तथ्य दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करता है। लेकिन ये दोनों घटनाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं क्योंकि दोनों घटित हो सकती हैं।

दूसरी ओर, यदि हम सिक्के को केवल एक बार उछालते हैं, तो “हेड्स” और “टेल्स” घटनाएं अब परस्पर अनन्य हैं क्योंकि वे कभी भी एक ही समय में घटित नहीं होंगी।