माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आंकड़ों में माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण क्या है। इस प्रकार, आपको औसत के लिए परिकल्पना परीक्षण सूत्र मिलेगा और इसके अलावा, चरण दर चरण हल किया गया एक अभ्यास भी मिलेगा।

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण क्या है?

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसका उपयोग जनसंख्या माध्य की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार या अस्वीकार करने के लिए किया जाता है।

अधिक विशेष रूप से, माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण में परीक्षण आंकड़ों की गणना करना और अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करने या न करने के लिए महत्वपूर्ण मूल्य से इसकी तुलना करना शामिल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परिकल्पना परीक्षणों के अलग-अलग नाम हैं; सांख्यिकी में, उन्हें परिकल्पना विरोधाभास, परिकल्पना परीक्षण या महत्व परीक्षण भी कहा जाता है।

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण सूत्र

आगे हम देखेंगे कि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा की गणना कैसे की जाती है। हालाँकि, विचरण ज्ञात है या नहीं, इसके आधार पर सूत्र थोड़ा भिन्न होता है, इसलिए हम पहले देखेंगे कि जब विचरण ज्ञात हो तो यह कैसे किया जाता है और फिर जब विचरण अज्ञात होता है तो यह कैसे किया जाता है।

ज्ञात विचलन के साथ

ज्ञात विचरण वाले माध्य के लिए परीक्षण परिकल्पना सूत्र है:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

सोना:

$Z$

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है।
$\overline{x}$

नमूना साधन है.
$\mu$

प्रस्तावित औसत मूल्य है.
$\sigma$

जनसंख्या मानक विचलन है.
$n$

नमूना आकार है.

एक बार जब माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा की गणना की जाती है, तो परिणाम की व्याख्या अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार या अस्वीकार करने के लिए की जानी चाहिए:

यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण दोतरफा है, तो यदि सांख्यिकी का निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण मान Z _α/2 से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।
यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण सही पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान Z _α से अधिक है।
यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण बाईं पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान -Z _α से कम है।

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

इस मामले में, महत्वपूर्ण मान मानकीकृत सामान्य वितरण तालिका से प्राप्त किए जाते हैं।

अज्ञात भिन्नता के साथ

अज्ञात विचरण वाले माध्य के लिए परीक्षण परिकल्पना सूत्र है:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

सोना:

$t$

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है, जिसे छात्र के टी वितरण द्वारा परिभाषित किया गया है।
$\overline{x}$

नमूना साधन है.
$\mu$

प्रस्तावित औसत मूल्य है.
$s$

नमूना मानक विचलन है.
$n$

नमूना आकार है.

पहले की तरह, परीक्षण आँकड़ों के परिकलित परिणाम की व्याख्या शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने या न करने के लिए महत्वपूर्ण मूल्य के साथ की जानी चाहिए:

यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण दोतरफा है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि सांख्यिकी का निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण मान t _α/2|n-1 से अधिक है।
यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण सही पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान t _α|n-1 से अधिक है।
यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण बाईं पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान -t _α|n-1 से कम है।

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

जब विचरण अज्ञात होता है, तो महत्वपूर्ण परीक्षण मान छात्र की वितरण तालिका से प्राप्त किए जाते हैं।

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण का वास्तविक-विश्व उदाहरण

जनसंख्या माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण की अवधारणा को पूरी तरह से समझने के लिए, आप नीचे इस प्रकार की परिकल्पना परीक्षण का वास्तविक जीवन का उदाहरण देख सकते हैं।

एक टेक्नोलॉजी कंपनी का दावा है कि उसके द्वारा बेचे जाने वाले लैपटॉप की बैटरी 6 घंटे तक चलती है। हम महत्व स्तर α = 0.05 के साथ एक परिकल्पना परीक्षण करके जाँचते हैं कि क्या यह परिकल्पना गलत है। ऐसा करने के लिए, 20 इकाइयाँ खरीदने और प्रत्येक कंप्यूटर की बैटरी जीवन का निरीक्षण करने का निर्णय लिया गया है (मान घंटों में व्यक्त किए गए हैं):

5.2 5.9 7.1 4.2 6.5
8.5 4.6 6.8 6.9 5.8
5.1 6.5 7.0 5.3 6.2
5.7 6.6 7.5 5.1 6.1

इस मामले में, माध्य के बारे में परिकल्पना परीक्षण की शून्य और वैकल्पिक परिकल्पनाएँ इस प्रकार हैं:

$\begin{cases}H_0: \mu=6\\[2ex] H_1:\mu\neq 6 \end{cases}$

परीक्षण आँकड़े निर्धारित करने के लिए, हमें पहले नमूना माध्य और नमूना मानक विचलन की गणना करने की आवश्यकता है:

$\overline{x}=6,13 \qquad s=1,05$

चूँकि हम जनसंख्या विचरण को नहीं जानते हैं, परीक्षण आँकड़े प्राप्त करने के लिए हमें अज्ञात विचरण वाले माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

$\displaystyle t=\frac{6,13-6}{\displaystyle \frac{1,05}{\sqrt{20}}}$

$\displaystyle t=0,68$

अब हमें परिकल्पना परीक्षण का महत्वपूर्ण मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, इसलिए हम संबंधित मान के लिए छात्र की टी वितरण तालिका में देखते हैं। छात्र की स्वतंत्रता की डिग्री नमूना आकार (20-1=19) से एक कम है और दूसरी ओर, संबंधित संभावना महत्व स्तर (0.05/2= 0.025) से आधी है क्योंकि यह दो तरफा है परिकल्पना परीक्षण।

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\end{array}$

निष्कर्ष में, चूँकि यह दोतरफा परिकल्पना परीक्षण है और परीक्षण आँकड़ों का निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण मान से कम है, शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जाता है, लेकिन वैकल्पिक परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है।

$0,68<2,093 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

साधनों में अंतर के लिए परिकल्पना परीक्षण

साधन परिकल्पना परीक्षण में अंतर का उपयोग शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने या स्वीकार करने के लिए किया जाता है कि दो आबादी के साधन समान हैं।

इस प्रकार दो साधनों के अंतर के लिए एक परिकल्पना परीक्षण की शून्य परिकल्पना हमेशा निम्नलिखित होती है:

$H_0: \mu_1=\mu_2$

जबकि वैकल्पिक परिकल्पना निम्नलिखित तीन में से एक हो सकती है:

$\begin{array}{l}H_1:\mu_1\neq \mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1>\mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1<\mu_2\end{array}$

फिर, भिन्नता ज्ञात होने पर साधनों में अंतर के लिए परिकल्पना परीक्षण आंकड़ों की गणना करने का सूत्र है :

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

सोना:

$Z$

ज्ञात भिन्नता वाले दो साधनों के अंतर के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है, जो एक मानक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।
$\overline{x_1}$

नमूना 1 का माध्य है.
$\overline{x_2}$

नमूना 2 का माध्य है.
$\sigma_1^2$

जनसंख्या 1 का प्रसरण है।
$\sigma_2^2$

जनसंख्या 2 का प्रसरण है।
$n_1$

नमूना आकार 1 है.
$n_2$

नमूना आकार 2 है.

दूसरी ओर, भिन्नता अज्ञात होने पर साधनों में अंतर के लिए परिकल्पना परीक्षण आंकड़ों की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

सोना:

$t$

अज्ञात भिन्नता वाले दो साधनों के अंतर के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है, जो छात्र के टी वितरण का अनुसरण करता है।
$\overline{x_1}$

नमूना 1 का माध्य है.
$\overline{x_2}$

नमूना 2 का माध्य है.
$s_1^2$

नमूना 1 का भिन्नता है.
$s_2^2$

नमूना 2 का विचरण है।
$n_1$

नमूना आकार 1 है.
$n_2$

नमूना आकार 2 है.

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण क्या है?

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ज्ञात विचलन के साथ

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