सतत संभाव्यता वितरण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सतत संभाव्यता वितरण क्या हैं और आंकड़ों में उनका उपयोग किस लिए किया जाता है। तो आप जानेंगे कि संभाव्यता वितरण के निरंतर होने का क्या मतलब है, निरंतर वितरण के उदाहरण और विभिन्न प्रकार के निरंतर वितरण क्या हैं।

सतत संभाव्यता वितरण क्या है?

सतत संभाव्यता वितरण वह है जिसका वितरण फलन सतत होता है। इसलिए, एक सतत संभाव्यता वितरण एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाओं को परिभाषित करता है।

उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण और छात्र का टी वितरण निरंतर संभाव्यता वितरण हैं।

सतत संभाव्यता वितरण की एक विशेषता यह है कि वे एक अंतराल के भीतर कोई भी मान ले सकते हैं। इस प्रकार, असतत संभाव्यता वितरण के विपरीत, निरंतर संभाव्यता वितरण दशमलव मान ले सकते हैं।

निरंतर वितरण में, संचयी संभाव्यता की गणना करने के लिए, किसी को वितरण के वक्र के नीचे का क्षेत्र ढूंढना होगा, इसलिए इस प्रकार के संभाव्यता वितरण में, संचयी संभाव्यता फ़ंक्शन घनत्व फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के बराबर है।

$\displaystyle P[X\leq x]=\int_{-\infty}^x f(x)dx$

सतत संभाव्यता वितरण के उदाहरण

एक बार जब हमने सतत संभाव्यता वितरण की परिभाषा देख ली, तो हम अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए इस प्रकार के वितरण के कई उदाहरण देखेंगे।

सतत संभाव्यता वितरण के उदाहरण:

एक पाठ्यक्रम में छात्रों का वजन.
एक विद्युत घटक का जीवनकाल.
स्टॉक एक्सचेंज पर सूचीबद्ध कंपनियों के शेयरों की लाभप्रदता।
एक कार की गति.
कुछ शेयरों की कीमत.

सतत संभाव्यता वितरण के प्रकार

सतत संभाव्यता वितरण के मुख्य प्रकार हैं:

समान और निरंतर वितरण
सामान्य वितरण
लॉगनॉर्मल वितरण
ची-स्क्वायर वितरण
विद्यार्थी का टी वितरण
स्नेडेकोर एफ वितरण
घातांकी रूप से वितरण
बीटा वितरण
गामा वितरण
वेइबुल वितरण
पेरेटो वितरण

प्रत्येक प्रकार के सतत संभाव्यता वितरण को नीचे विस्तार से समझाया गया है।

समान और निरंतर वितरण

सतत एकसमान वितरण , जिसे आयताकार वितरण भी कहा जाता है, एक प्रकार का सतत संभाव्यता वितरण है जिसमें सभी मानों के प्रकट होने की समान संभावना होती है। दूसरे शब्दों में, सतत एकसमान वितरण एक ऐसा वितरण है जिसमें संभाव्यता एक अंतराल पर समान रूप से वितरित होती है।

निरंतर समान वितरण का उपयोग निरंतर संभावना वाले निरंतर चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसी तरह, यादृच्छिक प्रक्रियाओं को परिभाषित करने के लिए निरंतर समान वितरण का उपयोग किया जाता है, क्योंकि यदि सभी परिणामों की संभावना समान है, तो इसका मतलब है कि परिणाम में यादृच्छिकता है।

निरंतर समान वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर होते हैं, ए और बी , जो समसंभाव्यता अंतराल को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, सतत एकसमान वितरण का प्रतीक U(a,b) है, जहां a और b वितरण के विशिष्ट मान हैं।

$X\sim U(a,b)$

उदाहरण के लिए, यदि किसी यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम 5 और 9 के बीच कोई भी मान ले सकता है और सभी संभावित परिणामों के घटित होने की संभावना समान है, तो प्रयोग को निरंतर समान वितरण यू(5.9) के साथ अनुकरण किया जा सकता है।

➤ देखें: सतत एकसमान वितरण के गुण

सामान्य वितरण

सामान्य वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका ग्राफ़ घंटी के आकार का और इसके माध्य के बारे में सममित है। आंकड़ों में, सामान्य वितरण का उपयोग बहुत भिन्न विशेषताओं वाली घटनाओं को मॉडल करने के लिए किया जाता है, यही कारण है कि यह वितरण इतना महत्वपूर्ण है।

वास्तव में, आंकड़ों में, सामान्य वितरण को अब तक सभी संभाव्यता वितरणों का सबसे महत्वपूर्ण वितरण माना जाता है, क्योंकि यह न केवल बड़ी संख्या में वास्तविक दुनिया की घटनाओं को मॉडल कर सकता है, बल्कि सामान्य वितरण का उपयोग अन्य प्रकार के अनुमान लगाने के लिए भी किया जा सकता है। वितरण. खास शर्तों के अन्तर्गत।

सामान्य वितरण का प्रतीक बड़े अक्षर N है। इसलिए, यह इंगित करने के लिए कि एक चर एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, इसे अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है और इसके अंकगणितीय माध्य और मानक विचलन के मान कोष्ठक में जोड़े जाते हैं।

$X\sim N(\mu,\sigma)$

सामान्य वितरण के कई अलग-अलग नाम हैं, जिनमें गाऊसी वितरण , गाऊसी वितरण और लाप्लास-गॉस वितरण शामिल हैं।

➤ देखें: सामान्य वितरण के गुण

लॉगनॉर्मल वितरण

लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन , या लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन , एक संभाव्यता वितरण है जो एक यादृच्छिक चर को परिभाषित करता है जिसका लघुगणक एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।

इसलिए, यदि चर X का सामान्य वितरण है, तो घातीय फ़ंक्शन e ^x का लॉगनॉर्मल वितरण है।

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

ध्यान दें कि लॉगनॉर्मल वितरण का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब चर के मान सकारात्मक हों, क्योंकि लॉगरिदम एक फ़ंक्शन है जो केवल एक सकारात्मक तर्क स्वीकार करता है।

आंकड़ों में लॉगनॉर्मल वितरण के विभिन्न अनुप्रयोगों के बीच, हम वित्तीय निवेशों का विश्लेषण करने और विश्वसनीयता विश्लेषण करने के लिए इस वितरण के उपयोग को अलग करते हैं।

लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन को टिनॉट डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी जाना जाता है, कभी-कभी इसे लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन या लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी लिखा जाता है।

➤ देखें: लॉगनॉर्मल वितरण के गुण

ची-स्क्वायर वितरण

ची-स्क्वायर वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसका प्रतीक χ² है। अधिक सटीक रूप से, ची-स्क्वायर वितरण सामान्य वितरण के साथ k स्वतंत्र यादृच्छिक चर के वर्ग का योग है।

इस प्रकार, ची-स्क्वायर वितरण में स्वतंत्रता की k डिग्री है। इसलिए, एक ची-स्क्वायर वितरण में स्वतंत्रता की उतनी ही डिग्री होती है जितनी सामान्य रूप से वितरित चर के वर्गों का योग इसका प्रतिनिधित्व करता है।

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

ची-स्क्वायर वितरण को पियर्सन वितरण के रूप में भी जाना जाता है।

ची-स्क्वायर वितरण का व्यापक रूप से सांख्यिकीय अनुमान में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए परिकल्पना परीक्षण और आत्मविश्वास अंतराल में। हम नीचे देखेंगे कि इस प्रकार के संभाव्यता वितरण के अनुप्रयोग क्या हैं।

➤ देखें: ची-स्क्वायर वितरण के गुण

विद्यार्थी का टी वितरण

विद्यार्थी का टी वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकी में व्यापक रूप से किया जाता है। विशेष रूप से, छात्र के टी वितरण का उपयोग छात्र के टी परीक्षण में दो नमूनों के साधनों के बीच अंतर निर्धारित करने और आत्मविश्वास अंतराल स्थापित करने के लिए किया जाता है।

स्टूडेंट का वितरण 1908 में सांख्यिकीविद् विलियम सीली गॉसेट द्वारा छद्म नाम “स्टूडेंट” के तहत विकसित किया गया था।

छात्र के टी वितरण को उसकी स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से परिभाषित किया जाता है, जो अवलोकनों की कुल संख्या से एक इकाई घटाकर प्राप्त की जाती है। इसलिए, किसी छात्र के t वितरण की स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करने का सूत्र ν=n-1 है।

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ देखें: छात्र वितरण के गुण

स्नेडेकोर एफ वितरण

स्नेडेकोर एफ वितरण , जिसे फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण या केवल एफ वितरण भी कहा जाता है, एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकीय अनुमान में किया जाता है, विशेष रूप से विचरण के विश्लेषण में।

स्नेडेकोर एफ वितरण के गुणों में से एक यह है कि इसे दो वास्तविक मापदंडों, एम और एन के मूल्य से परिभाषित किया गया है, जो उनकी स्वतंत्रता की डिग्री को दर्शाता है। इस प्रकार, स्नेडेकोर वितरण F का प्रतीक F _m,n है, जहां m और n वे पैरामीटर हैं जो वितरण को परिभाषित करते हैं।

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”> गणितीय रूप से, स्नेडेकोर एफ वितरण एक ची-वर्ग वितरण और उसकी स्वतंत्रता की डिग्री के बीच के भागफल के बराबर है जो दूसरे ची-वर्ग वितरण और उसकी स्वतंत्रता की डिग्री के बीच के भागफल से विभाजित होता है। इस प्रकार, स्नेडेकोर एफ वितरण को परिभाषित करने वाला सूत्र इस प्रकार है: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण का नाम अंग्रेजी सांख्यिकीविद् रोनाल्ड फिशर और अमेरिकी सांख्यिकीविद् जॉर्ज स्नेडेकोर के नाम पर रखा गया है।

आंकड़ों में, फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण के विभिन्न अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण का उपयोग विभिन्न रैखिक प्रतिगमन मॉडल की तुलना करने के लिए किया जाता है, और इस संभाव्यता वितरण का उपयोग विचरण (एनोवा) के विश्लेषण में किया जाता है।

➤ देखें: स्नेडेकोर एफ वितरण के गुण

घातांकी रूप से वितरण

घातीय वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने के प्रतीक्षा समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

अधिक सटीक रूप से, घातीय वितरण दो घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय का वर्णन करना संभव बनाता है जो पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है। इसलिए, घातीय वितरण पॉइसन वितरण से निकटता से संबंधित है।

घातीय वितरण में एक विशिष्ट पैरामीटर होता है, जिसे ग्रीक अक्षर λ द्वारा दर्शाया जाता है और यह इंगित करता है कि किसी निश्चित अवधि के दौरान अध्ययन की गई घटना कितनी बार घटित होने की उम्मीद है।

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

इसी प्रकार, घातीय वितरण का उपयोग विफलता होने तक के समय को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है। इसलिए घातांकीय वितरण की विश्वसनीयता और उत्तरजीविता सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं।

➤ देखें: घातीय वितरण के गुण

बीटा वितरण

बीटा वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसे अंतराल (0,1) पर परिभाषित किया गया है और दो सकारात्मक मापदंडों द्वारा मानकीकृत किया गया है: α और β। दूसरे शब्दों में, बीटा वितरण का मान पैरामीटर α और β पर निर्भर करता है।

इसलिए, बीटा वितरण का उपयोग निरंतर यादृच्छिक चर को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिनका मान 0 और 1 के बीच होता है।

यह इंगित करने के लिए कई संकेत हैं कि एक सतत यादृच्छिक चर बीटा वितरण द्वारा नियंत्रित होता है, सबसे आम हैं:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

आंकड़ों में, बीटा वितरण के बहुत विविध अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, बीटा वितरण का उपयोग विभिन्न नमूनों में प्रतिशत में भिन्नता का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसी प्रकार, परियोजना प्रबंधन में, बीटा वितरण का उपयोग पर्ट विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

➤ देखें: बीटा वितरण के गुण

गामा वितरण

गामा वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जो दो विशिष्ट मापदंडों, α और λ द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, गामा वितरण इसके दो मापदंडों के मूल्य पर निर्भर करता है: α आकार पैरामीटर है और λ स्केल पैरामीटर है।

गामा वितरण का प्रतीक बड़ा ग्रीक अक्षर Γ है। इसलिए, यदि कोई यादृच्छिक चर गामा वितरण का अनुसरण करता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

गामा वितरण को आकार पैरामीटर k = α और व्युत्क्रम स्केल पैरामीटर θ = 1/λ का उपयोग करके भी मानकीकृत किया जा सकता है। सभी मामलों में, गामा वितरण को परिभाषित करने वाले दो पैरामीटर सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं।

आमतौर पर, गामा वितरण का उपयोग दाएं-तिरछे डेटा सेट को मॉडल करने के लिए किया जाता है, ताकि ग्राफ़ के बाईं ओर डेटा की अधिक सांद्रता हो। उदाहरण के लिए, गामा वितरण का उपयोग विद्युत घटकों की विश्वसनीयता को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

➤ देखें: गामा वितरण के गुण

वेइबुल वितरण

वेइबुल वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जो दो विशिष्ट मापदंडों द्वारा परिभाषित है: आकार पैरामीटर α और स्केल पैरामीटर λ।

आंकड़ों में, वेइबुल वितरण का उपयोग मुख्य रूप से उत्तरजीविता विश्लेषण के लिए किया जाता है। इसी तरह, वेइबुल वितरण के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं।

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

लेखकों के अनुसार, वेइबुल वितरण को तीन मापदंडों के साथ भी मानकीकृत किया जा सकता है। फिर, थ्रेशोल्ड वैल्यू नामक एक तीसरा पैरामीटर जोड़ा जाता है, जो एब्सिस्सा को इंगित करता है जिस पर वितरण ग्राफ शुरू होता है।

वेइबुल वितरण का नाम स्वेड वालोडी वेइबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1951 में इसका विस्तार से वर्णन किया था। हालांकि, वेइबुल वितरण की खोज 1927 में मौरिस फ्रैचेट द्वारा की गई थी और पहली बार 1933 में रोसिन और रैमलर द्वारा लागू किया गया था।

➤ देखें: वेइबुल वितरण के गुण

पेरेटो वितरण

पेरेटो वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग पेरेटो सिद्धांत को मॉडल करने के लिए सांख्यिकी में किया जाता है। इसलिए, पेरेटो वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसमें कुछ मान होते हैं जिनके घटित होने की संभावना बाकी मानों की तुलना में बहुत अधिक होती है।

याद रखें कि पेरेटो का नियम, जिसे 80-20 नियम भी कहा जाता है, एक सांख्यिकीय सिद्धांत है जो कहता है कि किसी घटना का अधिकांश कारण जनसंख्या का एक छोटा सा हिस्सा होता है।

पेरेटो वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर हैं: स्केल पैरामीटर x _m और आकार पैरामीटर α।

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

मूल रूप से, पेरेटो वितरण का उपयोग जनसंख्या के भीतर धन के वितरण का वर्णन करने के लिए किया गया था, क्योंकि इसका अधिकांश हिस्सा जनसंख्या के एक छोटे से अनुपात के कारण था। लेकिन वर्तमान में पेरेटो वितरण के कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए गुणवत्ता नियंत्रण में, अर्थशास्त्र में, विज्ञान में, सामाजिक क्षेत्र में, आदि।

➤ देखें: पेरेटो वितरण के गुण

सतत और असतत संभाव्यता वितरण

संभाव्यता वितरण को निरंतर वितरण और असतत वितरण में वर्गीकृत किया जा सकता है। तो, अंततः, हम देखेंगे कि इन दो प्रकार के संभाव्यता वितरणों के बीच क्या अंतर है।

निरंतर संभाव्यता वितरण और असतत संभाव्यता वितरण के बीच का अंतर उन मूल्यों की संख्या है जो वे ले सकते हैं। सतत वितरण एक अंतराल में अनंत संख्या में मान ले सकते हैं, जबकि असतत वितरण एक अंतराल में केवल गणनीय संख्या में मान ले सकते हैं।

इसलिए, सामान्य तौर पर, निरंतर वितरण को असतत वितरण से अलग करने का एक तरीका उन संख्याओं के प्रकार से है जो वे ले सकते हैं। आम तौर पर, एक सतत वितरण दशमलव संख्याओं सहित कोई भी मान ले सकता है, जबकि असतत वितरण केवल पूर्णांक ले सकता है।

➤ देखें: असतत संभाव्यता वितरण क्या है?

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने