सहप्रसरण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 5, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सहप्रसरण क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है। आपको सहप्रसरण सूत्र के साथ-साथ डेटा सेट के सहप्रसरण की गणना का एक उदाहरण भी मिलेगा। इसके अतिरिक्त, आप अंत में ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ किसी भी डेटा श्रृंखला के सहप्रसरण की गणना कर सकते हैं।

सहप्रसरण क्या है?

आंकड़ों में, सहप्रसरण एक ऐसा मान है जो दो यादृच्छिक चरों की संयुक्त भिन्नता की डिग्री को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, सहप्रसरण का उपयोग दो चरों के बीच निर्भरता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

सहप्रसरण दो चर के डेटा और उनके संबंधित साधनों के बीच अंतर के उत्पादों के योग को डेटा की कुल संख्या से विभाजित करने के बराबर है।

👉 आप किसी भी डेटा सेट के सहप्रसरण की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

सहप्रसरण मान की व्याख्या बहुत सरल है:

यदि सहप्रसरण धनात्मक है , तो इसका अर्थ है कि दो चरों के बीच निर्भरता है। इसलिए, जब एक चर का मूल्य बढ़ता है, तो दूसरे चर का मूल्य भी बढ़ता है, और इसके विपरीत।
यदि सहप्रसरण ऋणात्मक है , तो इसका अर्थ है कि दो चरों के बीच संबंध ऋणात्मक है। इसलिए, जब एक चर का मूल्य बढ़ता है, तो दूसरे चर का मूल्य घट जाता है, और इसके विपरीत।
यदि सहप्रसरण शून्य है (या इसका मान शून्य के करीब है), तो इसका मतलब है कि दोनों चर के बीच कोई संबंध नहीं है। दूसरे शब्दों में, दो यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं।

सहप्रसरण की गणना कैसे करें

डेटा श्रृंखला के सहप्रसरण की गणना करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाना चाहिए:

प्रत्येक चर के औसत की अलग से गणना करें।
प्रत्येक चर के लिए, उसके प्रत्येक मान और चर के माध्य के बीच अंतर ज्ञात करें।
प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए पिछले चरण में गणना किए गए अंतरों को गुणा करें।
पिछले चरण में प्राप्त सभी परिणामों को जोड़ें।
डेटा की कुल संख्या से विभाजित करें. प्राप्त मूल्य डेटा श्रृंखला का सहप्रसरण है।

संक्षेप में, दो चरों के बीच सहप्रसरण की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

$Cov(X,Y)=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}$

दो चरों के बीच सहप्रसरण निकालने के लिए एक अत्यधिक अनुशंसित विधि सभी डेटा जोड़े के साथ एक तालिका बनाना और ऊपर बताए गए प्रत्येक चरण के लिए एक कॉलम जोड़ना है। इस तरह आपकी गणनाएँ बेहतर ढंग से व्यवस्थित होंगी और आप बेहतर ढंग से समझ पाएंगे कि आप क्या कर रहे हैं।

सहप्रसरण गणना का उदाहरण

सहप्रसरण की परिभाषा पर विचार करते हुए, इस प्रकार के सांख्यिकीय माप की गणना का चरण-दर-चरण उदाहरण नीचे दिया गया है। उद्देश्य यह है कि आप सहप्रसरण की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझें और दो चरों के बीच सहसंबंध का विश्लेषण कैसे करें।

निम्नलिखित सांख्यिकीय डेटा सेट के सहप्रसरण की गणना करें:

सबसे पहले, हमें प्रत्येक चर के अंकगणितीय माध्य की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक चर के मानों के योग को डेटा की कुल संख्या से विभाजित करते हैं।

$\overline{x}=\cfrac{58}{10}=5,8$

$\overline{y}=\cfrac{51}{10}=5,1$

➤ देखें: अंकगणितीय सूत्र माध्य

एक बार जब हम प्रत्येक यादृच्छिक चर का माध्य निर्धारित कर लेते हैं, तो हम सहप्रसरण प्राप्त करने के लिए डेटा तालिका में निम्नलिखित कॉलम जोड़ सकते हैं:

इसलिए दो चरों के सहप्रसरण को निर्धारित करने के लिए आपको अंतिम कॉलम के योग को डेटा जोड़े की संख्या से विभाजित करना होगा:

$\begin{aligned}Cov(X,Y)&=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}\\[2ex] Cov(X,Y)&= \cfrac{41,2}{10} \\[2ex]Cov(X,Y)&= 4,12\end{aligned}$

इस मामले में सहप्रसरण मान सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि अध्ययन किए गए दो यादृच्छिक चर के बीच सीधा संबंध है। हालाँकि, यदि सहप्रसरण मान ऋणात्मक होता, तो इसका मतलब यह होता कि दो चरों के बीच निर्भरता व्युत्क्रम है। और अंत में, यदि सहप्रसरण मान शून्य या शून्य के बहुत करीब है, तो इसका मतलब है कि दो चर के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं है।

जैसा कि आप इस उदाहरण को हल करके देख सकते हैं, तालिका में कॉलम जोड़ने और गणनाओं को शीघ्रता से करने के लिए एक्सेल जैसे कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना बहुत उपयोगी है। अन्यथा, परिचालनों की मैन्युअल रूप से गणना करने पर, सहप्रसरण ज्ञात करने में अधिक समय लगता है।

सहप्रसरण कैलक्यूलेटर

दो चरों के बीच सहप्रसरण की गणना करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर में सांख्यिकीय डेटा का एक सेट दर्ज करें। आपको डेटा जोड़े को अलग करने की आवश्यकता है, ताकि पहले बॉक्स में केवल एक वेरिएबल के मान हों और दूसरे बॉक्स में केवल दूसरे वेरिएबल के मान हों।

डेटा को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

सहप्रसरण गुण

सहप्रसरण में निम्नलिखित गुण हैं:

एक यादृच्छिक चर और एक स्थिरांक के बीच सहप्रसरण शून्य है।

$Cov(X,a)=0$

किसी चर और स्वयं का सहप्रसरण उस चर के प्रसरण के बराबर होता है।

$Cov(X,X)=Var(X)$

➤ देखें: विचरण क्या है?

सहप्रसरण समरूपता गुण को संतुष्ट करता है, इसलिए चर X और Y का सहप्रसरण चर Y और X के सहप्रसरण के बराबर है। चर का क्रम सहप्रसरण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$

यदि चर को स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो आप पहले सहप्रसरण की गणना कर सकते हैं और फिर परिणाम को स्थिरांक से गुणा कर सकते हैं।

$Cov(a\cdot X,b\cdot Y)=a\cdot b\cdot Cov(X,Y)$

चरों में पद जोड़ने से सहप्रसरण परिणाम प्रभावित नहीं होता है।

$Cov(a+X,b+Y)=Cov(X+Y)$

दो यादृच्छिक चरों के बीच सहप्रसरण उनकी गणितीय अपेक्षाओं से संबंधित है। चर

$Cov(X,Y)=E[X\cdot Y]-E[X]\cdot E[Y]$

चर के साथ संचालन करते समय, सहप्रसरण के संबंध में निम्नलिखित बीजगणितीय अभिव्यक्ति भरी जाती है:

$\begin{aligned}\displaystyle Cov(aX+bY,cW+dV)= \ & \displaystyle acCov(X,W)+adCov(X,V)+\\[2ex]& +bcCov(Y,W)+bdCov(Y,V)\end{aligned}$

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने