गुणन का सामान्य नियम (स्पष्टीकरण और उदाहरण)

गुणन का सामान्य नियम बताता है कि किन्हीं दो घटनाओं, ए और बी, दोनों के घटित होने की संभावना की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

पी(ए और बी) = पी(ए) * पी(बी|ए)

ऊर्ध्वाधर पट्टी | का अर्थ है “दिया गया”। इस प्रकार, P(B|A) को “B के घटित होने की प्रायिकता, यह देखते हुए कि A घटित हुआ है” के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो P(B|A) बिल्कुल P(B) के बराबर है और नियम को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है:

पी(ए और बी) = पी(ए) * पी(बी)

आइए स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं के कुछ उदाहरणों की समीक्षा करके देखें कि हम इस सामान्य गुणन नियम को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

आश्रित घटनाओं के लिए सामान्य गुणन नियम

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि दो आश्रित घटनाओं से संबंधित संभावनाओं को खोजने के लिए सामान्य गुणन नियम का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक उदाहरण में, दूसरी घटना के घटित होने की संभावना पहली घटना के परिणाम से प्रभावित होती है।

उदाहरण 1: कलश में गेंदें

एक कलश में 4 लाल गेंदें और 3 हरी गेंदें हैं। बॉब उन्हें बदले बिना, यादृच्छिक रूप से कलश से 2 गेंदों का चयन करेगा। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 लाल गेंदें चुने?

समाधान: पहली कोशिश में उसके लाल गेंद चुनने की प्रायिकता 4/7 है। एक बार जब यह गेंद हटा दी जाती है, तो दूसरे प्रयास में उसके द्वारा लाल गेंद चुनने की संभावना 3/6 है। तो उसके द्वारा 2 लाल गेंदों का चयन करने की प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

पी (दोनों लाल) = 4/7 * 3/7 ≈ 0.2249

उदाहरण 2: डेक में कार्ड

ताश के एक डेक में 26 काले पत्ते और 26 लाल पत्ते हैं। डेबी बेतरतीब ढंग से डेक से 2 कार्डों का चयन करेगी, उन्हें बदले बिना। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 लाल कार्ड चुनेगी?

समाधान: पहले प्रयास में उसे लाल कार्ड मिलने की प्रायिकता 26/52 है। एक बार जब यह कार्ड हटा दिया जाता है, तो उसके दूसरे प्रयास में लाल कार्ड चुनने की संभावना 25/51 है। तो उसके द्वारा 2 लाल कार्ड चुनने की प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

पी (दोनों लाल) = 26/52 * 25/51 ≈ 0.2451

स्वतंत्र घटनाओं के लिए सामान्य गुणन नियम

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि दो स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित संभावनाओं को खोजने के लिए सामान्य गुणन नियम का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक उदाहरण में, दूसरी घटना के घटित होने की संभावना पहली घटना के परिणाम से प्रभावित नहीं होती है ।

उदाहरण 1: दो सिक्के उछालें

मान लीजिए हम दो सिक्के निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों सिक्के शीर्ष पर आएँगे?

समाधान: पहले सिक्के के शीर्ष पर आने की प्रायिकता 1/2 है। पहला सिक्का चाहे किसी भी तरफ गिरे, दूसरे सिक्के के शीर्ष पर गिरने की संभावना भी 1/2 है। इस प्रकार, दो सिक्कों के शीर्ष पर आने की संभावना की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

पी (दोनों सिर पर भूमि) = 1/2 * 1/2 = 0.25

उदाहरण 2: दो पासे पलटें

मान लीजिए हम एक साथ दो पासे पलटते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों पासे क्रमांक 1 पर आएँ?

समाधान: पहला पासा “1” पर गिरने की प्रायिकता 1/6 है। भले ही पहला पासा किसी भी तरफ गिरे, दूसरे पासे के “1” पर गिरने की संभावना भी 1/6 है। तो दोनों पासों के “1” पर उतरने की संभावना की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

पी(दोनों “1” पर उतरते हैं) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0.0278