विषमता और चपटापन

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 4, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आंकड़ों में तिरछापन और कुर्टोसिस क्या हैं। तो, आपको इन दो अवधारणाओं की परिभाषा मिलेगी, तिरछापन और कर्टोसिस की गणना कैसे करें, उनके सूत्र क्या हैं, साथ ही किसी भी डेटा नमूने के तिरछापन और कर्टोसिस की गणना करने के लिए एक ऑनलाइन कैलकुलेटर भी मिलेगा।

तिरछापन और कुर्टोसिस क्या हैं?

तिरछापन और कुर्टोसिस दो सांख्यिकीय उपाय हैं जिनका उपयोग किसी वितरण के आकार को रेखांकन किए बिना उसका वर्णन करने के लिए किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, तिरछापन एक वितरण की समरूपता (या तिरछापन) की डिग्री को इंगित करता है, जबकि कर्टोसिस अपने माध्य के आसपास वितरण की एकाग्रता की डिग्री को इंगित करता है।

सांख्यिकी में तिरछापन और कर्टोसिस को आकार माप भी कहा जाता है।

👉 आप किसी भी डेटासेट की विषमता और कुर्टोसिस की गणना करने के लिए नीचे दिए गए ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

विषमता

आंकड़ों में, तिरछापन एक माप है जो किसी वितरण की उसके माध्य के सापेक्ष समरूपता (या विषमता) की डिग्री को इंगित करता है। सीधे शब्दों में कहें तो, तिरछापन एक सांख्यिकीय पैरामीटर है जिसका उपयोग किसी वितरण की समरूपता (या विषमता) की डिग्री को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करने की आवश्यकता के बिना निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इस प्रकार, एक असममित वितरण वह है जिसमें दाईं ओर की तुलना में माध्य के बाईं ओर मानों की संख्या भिन्न होती है। दूसरी ओर, सममित वितरण में माध्य के बाएँ और दाएँ मानों की संख्या समान होती है।

इस प्रकार, हम तीन प्रकार की विषमता को अलग करते हैं:

सकारात्मक विषमता : वितरण में माध्य के बाईं ओर की तुलना में दाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।
समरूपता : वितरण में माध्य के बाईं ओर मानों की संख्या उतनी ही होती है जितनी माध्य के दाईं ओर।
नकारात्मक तिरछापन : वितरण में माध्य के दाईं ओर की तुलना में बाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।

विषमता गुणांक

तिरछापन गुणांक , या विषमता सूचकांक , एक सांख्यिकीय गुणांक है जो वितरण की विषमता निर्धारित करने में मदद करता है। इस प्रकार, विषमता गुणांक की गणना करके, यह जानना संभव है कि वितरण किस प्रकार की विषमता को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत किए बिना प्रस्तुत करता है।

यद्यपि असममिति गुणांक की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र हैं, और हम उन सभी को नीचे देखेंगे, उपयोग किए गए सूत्र की परवाह किए बिना, विषमता गुणांक की व्याख्या हमेशा निम्नानुसार की जाती है:

यदि विषमता गुणांक सकारात्मक है, तो वितरण सकारात्मक रूप से विषम है।
यदि असममिति गुणांक शून्य के बराबर है, तो वितरण सममित है।
यदि विषमता गुणांक ऋणात्मक है, तो वितरण ऋणात्मक रूप से विषम है।

फिशर की विषमता गुणांक

फिशर का तिरछापन गुणांक नमूना मानक विचलन द्वारा विभाजित माध्य के बारे में तीसरे क्षण के बराबर है। इसलिए, फिशर की विषमता गुणांक का सूत्र है:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

समान रूप से, फिशर के गुणांक की गणना के लिए निम्नलिखित दो सूत्रों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

सोना

$E$

गणितीय अपेक्षा है,

$\mu$

अंकगणित माध्य,

$\sigma$

मानक विचलन और

$N$

डेटा की कुल संख्या.

दूसरी ओर, यदि डेटा को समूहीकृत किया गया है तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

इस मामले में कहां

$x_i$

यह वर्ग और का प्रतीक है

$f_i$

पाठ्यक्रम की पूर्ण आवृत्ति.

पियर्सन का विषमता गुणांक

पियर्सन का तिरछापन गुणांक नमूना माध्य और मोड के बीच के अंतर को उसके मानक विचलन (या मानक विचलन) से विभाजित करने के बराबर है। इसलिए पियर्सन असममिति गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

सोना

$A_p$

पियर्सन गुणांक है,

$\mu$

अंकगणित माध्य,

$Mo$

फैशन और

$\sigma$

मानक विचलन.

ध्यान रखें कि पियर्सन तिरछापन गुणांक की गणना केवल तभी की जा सकती है जब यह एक यूनिमॉडल वितरण हो, अर्थात, यदि डेटा में केवल एक मोड है।

बाउली का विषमता गुणांक

बाउली का तिरछापन गुणांक तीसरे चतुर्थक और पहले चतुर्थक के योग के बराबर होता है जिसमें से माध्यिका का दोगुना घटाकर तीसरे और पहले चतुर्थक के बीच के अंतर से विभाजित किया जाता है। इसलिए इस विषमता गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

सोना

$Q_1$

और

$Q_3$

ये क्रमशः प्रथम और तृतीय चतुर्थक हैं और

$Me$

वितरण का माध्यिका है.

सपाट

कर्टोसिस , जिसे तिरछापन भी कहा जाता है, यह दर्शाता है कि वितरण अपने माध्य के आसपास कितना केंद्रित है। दूसरे शब्दों में, कर्टोसिस इंगित करता है कि वितरण तीव्र या सपाट है। विशेष रूप से, किसी वितरण का कुर्टोसिस जितना अधिक होगा, वह उतना ही तेज़ (या तेज़) होगा।

चापलूसी तीन प्रकार की होती है:

लेप्टोकर्टिक : वितरण बहुत स्पष्ट है, इसका मतलब यह है कि डेटा माध्य के आसपास दृढ़ता से केंद्रित है। अधिक सटीक रूप से, लेप्टोकर्टिक वितरण को ऐसे वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सामान्य वितरण से अधिक तीव्र होते हैं।
मेसोकर्टिक : वितरण का कुर्टोसिस सामान्य वितरण के कुर्टोसिस के बराबर है। इसलिए, इसे न तो तीखा माना जाता है और न ही चापलूसी वाला।
प्लैटीकुर्टिक : वितरण बहुत सपाट है, इसका मतलब है कि माध्य के आसपास एकाग्रता कम है। औपचारिक रूप से, प्लैटीकुर्टिक वितरण को उन वितरणों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सामान्य वितरण की तुलना में अधिक सपाट होते हैं।

ध्यान दें कि विभिन्न प्रकार के कर्टोसिस को सामान्य वितरण के कर्टोसिस को संदर्भ के रूप में लेकर परिभाषित किया गया है।

कर्टोसिस गुणांक

कर्टोसिस गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

आवृत्ति तालिकाओं में समूहीकृत डेटा के लिए कर्टोसिस गुणांक का सूत्र:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

अंत में, अंतरालों में समूहीकृत डेटा के लिए कर्टोसिस गुणांक का सूत्र:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

सोना:

$g_2$

कर्टोसिस गुणांक है.
$N$

डेटा की कुल संख्या है.
$x_i$

श्रृंखला में ith डेटा बिंदु है।
$\mu$

वितरण का अंकगणितीय माध्य है।
$\sigma$

वितरण का मानक विचलन (या विशिष्ट विचलन) है।
$f_i$

आईटी डेटा सेट की पूर्ण आवृत्ति है।
$c_i$

i-वें समूह का वर्ग चिन्ह है।

ध्यान दें कि सभी कर्टोसिस गुणांक सूत्रों में, 3 घटाया जाता है क्योंकि यह सामान्य वितरण का कर्टोसिस मान है। इस प्रकार, कुर्टोसिस गुणांक की गणना सामान्य वितरण के कुर्टोसिस को संदर्भ के रूप में लेकर की जाती है। इसीलिए कभी-कभी आंकड़ों में कहा जाता है कि अत्यधिक कर्टोसिस की गणना की जाती है।

एक बार कर्टोसिस गुणांक की गणना हो जाने के बाद, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए ताकि यह पहचाना जा सके कि यह किस प्रकार का कर्टोसिस है:

यदि कर्टोसिस गुणांक सकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि वितरण लेप्टोकर्टिक है।
यदि कर्टोसिस गुणांक शून्य है, तो इसका मतलब है कि वितरण मेसोकर्टिक है।
यदि कर्टोसिस गुणांक ऋणात्मक है, तो इसका मतलब है कि वितरण प्लैटीकुर्टिक है।

तिरछापन और कर्टोसिस कैलकुलेटर

इसकी विषमता और कर्टोसिस गुणांक की गणना करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर में एक डेटा सेट दर्ज करें और यह भी निर्धारित करें कि यह किस प्रकार का वितरण है। डेटा को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

विषमता और कर्टोसिस का उपयोग किस लिए किया जाता है?

अंत में, हम देखेंगे कि आँकड़ों में तिरछापन और कुर्टोसिस का उपयोग किस लिए किया जाता है और इन दो प्रकार के सांख्यिकीय मापदंडों की व्याख्या कैसे की जाती है।

तिरछापन और कुर्टोसिस का उपयोग संभाव्यता वितरण के आकार को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करने की आवश्यकता के बिना परिभाषित करने के लिए किया जाता है। अर्थात्, तिरछापन और कर्टोसिस की गणना यह निर्धारित करने के लिए की जाती है कि यह किस प्रकार का वितरण है, इसे ग्राफ़ करने की आवश्यकता के बिना, जिसमें आमतौर पर बहुत समय और प्रयास लगता है।

इसके अतिरिक्त, किसी वितरण के वक्र की सामान्य वितरण से तुलना करने के लिए तिरछापन और कर्टोसिस मानों का उपयोग किया जाता है। क्योंकि यदि वे समान हैं, तो इसका मतलब है कि अध्ययन किए जाने वाले वितरण को सामान्य वितरण के समान अनुमानित किया जा सकता है और इसलिए, कई सांख्यिकीय प्रमेयों को लागू किया जा सकता है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

तिरछापन और कुर्टोसिस क्या हैं?

विषमता

विषमता गुणांक

फिशर की विषमता गुणांक

पियर्सन का विषमता गुणांक

बाउली का विषमता गुणांक

सपाट

कर्टोसिस गुणांक

तिरछापन और कर्टोसिस कैलकुलेटर

विषमता और कर्टोसिस का उपयोग किस लिए किया जाता है?

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