बोनफेरोनी सुधार: परिभाषा और उदाहरण

जब भी आप परिकल्पना परीक्षण करते हैं, तो टाइप I त्रुटि होने का जोखिम हमेशा बना रहता है। यह तब होता है जब आप शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर देते हैं जबकि वह वास्तव में सत्य होती है।

हम कभी-कभी इसे “गलत सकारात्मक” कहते हैं – जब हम दावा करते हैं कि सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण प्रभाव है, जबकि वास्तव में ऐसा नहीं है।

जब हम परिकल्पना परीक्षण करते हैं, तो टाइप I त्रुटि दर महत्व स्तर (α) के बराबर होती है, जिसे आमतौर पर 0.01, 0.05, या 0.10 चुना जाता है। हालाँकि, जब हम एक साथ कई परिकल्पना परीक्षण चलाते हैं, तो गलत सकारात्मक मिलने की संभावना बढ़ जाती है।

जब हम एक साथ कई परिकल्पना परीक्षण चलाते हैं, तो हमें परिवार-वार त्रुटि दर से निपटना पड़ता है, यानी, संभावना है कि कम से कम एक परीक्षण गलत सकारात्मक परिणाम देगा। इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

प्रति परिवार त्रुटि दर = 1 – (1-α) ⁿ

सोना:

• α: एकल परिकल्पना परीक्षण के लिए महत्व का स्तर
• n: परीक्षणों की कुल संख्या

यदि हम α = 0.05 का उपयोग करके एकल परिकल्पना परीक्षण करते हैं, तो संभावना है कि हम टाइप I त्रुटि करेंगे केवल 0.05 है।

प्रति परिवार त्रुटि दर = 1 – (1-α) ^सी = 1 – (1-.05) ¹ = 0.05

यदि हम एक साथ दो परिकल्पना परीक्षण करते हैं और प्रत्येक परीक्षण के लिए α = 0.05 का उपयोग करते हैं, तो संभावना है कि हम टाइप I त्रुटि करते हैं, 0.0975 तक बढ़ जाती है।

प्रति परिवार त्रुटि दर = 1 – (1-α) ^सी = 1 – (1-.05) ² = 0.0975

और यदि हम प्रत्येक परीक्षण के लिए α = 0.05 का उपयोग करके एक साथ पांच परिकल्पना परीक्षण चलाते हैं, तो संभावना है कि हम टाइप I त्रुटि करते हैं, 0.2262 तक बढ़ जाती है।

प्रति परिवार त्रुटि दर = 1 – (1-α) ^सी = 1 – (1-.05) ⁵ = 0.2262

यह देखना आसान है कि जैसे-जैसे हम सांख्यिकीय परीक्षणों की संख्या बढ़ाते हैं, कम से कम एक परीक्षण में टाइप I त्रुटि होने की संभावना तेजी से बढ़ जाती है।

इस समस्या को हल करने का एक तरीका बोनफेरोनी सुधार का उपयोग करना है।

बोनफेरोनी सुधार क्या है?

बोनफेरोनी सुधार टाइप I त्रुटि की संभावना को नियंत्रित करने के लिए सांख्यिकीय परीक्षणों के एक परिवार के लिए अल्फा (α) स्तर को समायोजित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।

बोनफेरोनी सुधार का सूत्र इस प्रकार है:

α _नया = α _मूल / एन

सोना:

• _मूल α: मूल α स्तर
• n: की गई तुलनाओं या परीक्षणों की कुल संख्या

उदाहरण के लिए, यदि हम एक साथ तीन सांख्यिकीय परीक्षण चला रहे हैं और प्रत्येक परीक्षण के लिए α = 0.05 का उपयोग करना चाहते हैं, तो बोनफेरोनी सुधार हमें बताता है कि हमें α _new = 0.01667 का उपयोग करना चाहिए।

α _नया = α _मूल / n = 0.05 / 3 = 0.01667

इस प्रकार, हमें केवल प्रत्येक व्यक्तिगत परीक्षण की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना चाहिए यदि परीक्षण का पी-मान 0.01667 से कम है।

बोनफेरोनी सुधार: एक उदाहरण

मान लीजिए कि एक प्रोफेसर जानना चाहता है कि क्या तीन अलग-अलग अध्ययन तकनीकों से छात्रों के बीच अलग-अलग परीक्षण स्कोर आते हैं या नहीं।

इसका परीक्षण करने के लिए, वह यादृच्छिक रूप से 30 छात्रों को प्रत्येक अध्ययन तकनीक का उपयोग करने के लिए नियुक्त करती है। अपनी निर्धारित अध्ययन तकनीक का उपयोग करने के एक सप्ताह के बाद, प्रत्येक छात्र एक ही परीक्षा देता है।

फिर वह एक-तरफ़ा एनोवा निष्पादित करती है और पाती है कि कुल पी-वैल्यू 0.0476 है। चूँकि यह आंकड़ा 0.05 से कम है, वह एक-तरफ़ा एनोवा की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करती है और निष्कर्ष निकालती है कि प्रत्येक अध्ययन तकनीक समान औसत परीक्षा स्कोर उत्पन्न नहीं करती है।

यह पता लगाने के लिए कि कौन सी अध्ययन तकनीकें सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण स्कोर उत्पन्न करती हैं, वह निम्नलिखित जोड़ीवार टी-परीक्षण करती हैं:

• तकनीक 1 बनाम तकनीक 2
• तकनीक 1 बनाम तकनीक 3
• तकनीक 2 बनाम तकनीक 3

वह α = 0.05 पर टाइप I त्रुटि करने की संभावना को नियंत्रित करना चाहती है। चूँकि वह एक साथ कई परीक्षण कर रही है, इसलिए उसने बोनफेरोनी सुधार लागू करने और α _new = .01667 का उपयोग करने का निर्णय लिया।

_नया α = _मूल α / n = 0.05 / 3 = 0.01667

फिर वह प्रत्येक समूह के लिए टी-परीक्षण आयोजित करती है और निम्नलिखित पाती है:

• तकनीक 1 बनाम तकनीक 2 | पी-वैल्यू = 0.0463
• तकनीक 1 बनाम तकनीक 3 | पी-वैल्यू = 0.3785
• तकनीक 2 बनाम तकनीक 3 | पी-वैल्यू = 0.0114

चूंकि तकनीक 2 बनाम तकनीक 3 के लिए पी-वैल्यू 0.01667 से कम एकमात्र पी-वैल्यू है, इसलिए उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि तकनीक 2 और तकनीक 3 के बीच केवल सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है।

अतिरिक्त संसाधन

बोनफेरोनी सुधार कैलकुलेटर
आर में बोनफेरोनी सुधार कैसे करें