असतत संभाव्यता वितरण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आंकड़ों में असतत संभाव्यता वितरण क्या हैं। तो, आप पाएंगे कि असतत संभाव्यता वितरण का अर्थ, असतत संभाव्यता वितरण के उदाहरण और असतत संभाव्यता वितरण के विभिन्न प्रकार क्या हैं।

असतत संभाव्यता वितरण क्या है?

असतत संभाव्यता वितरण वह वितरण है जो असतत यादृच्छिक चर की संभावनाओं को परिभाषित करता है। इसलिए, एक असतत संभाव्यता वितरण केवल सीमित संख्या में मान (आमतौर पर पूर्णांक) ले सकता है।

उदाहरण के लिए, द्विपद वितरण, पॉइसन वितरण और हाइपरजियोमेट्रिक वितरण असतत संभाव्यता वितरण हैं।

एक असतत संभाव्यता वितरण में, असतत चर का प्रत्येक मान जो (x _i ) का प्रतिनिधित्व करता है, एक संभाव्यता मान (p _i ) से जुड़ा होता है जो 0 से 1 तक होता है। इस प्रकार, एक असतत वितरण में सभी संभावनाओं का योग एक परिणाम देता है .

$\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}$

असतत संभाव्यता वितरण के उदाहरण

अब जब हम असतत संभाव्यता वितरण की परिभाषा जानते हैं, तो हम अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए इस प्रकार के वितरण के कई उदाहरण देखेंगे।

असतत संभाव्यता वितरण के उदाहरण:

एक पासे को 30 बार घुमाने पर संख्या 5 प्राप्त होती है।
एक दिन में किसी वेब पेज तक पहुंचने वाले उपयोगकर्ताओं की संख्या।
कुल 50 छात्रों में से एक परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या।
100 उत्पादों के नमूने में दोषपूर्ण इकाइयों की संख्या.
किसी व्यक्ति को पास होने के लिए ड्राइविंग टेस्ट कितनी बार देना होगा।

असतत संभाव्यता वितरण के प्रकार

असतत संभाव्यता वितरण के मुख्य प्रकार हैं:

पृथक समान वितरण
बर्नौली वितरण
द्विपद वितरण
मछली वितरण
बहुपद वितरण
ज्यामितीय वितरण
नकारात्मक द्विपद वितरण
हाइपरज्यामितीय वितरण

प्रत्येक प्रकार के असतत संभाव्यता वितरण को नीचे विस्तार से समझाया गया है।

पृथक समान वितरण

असतत समान वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जिसमें सभी मान समसंभाव्य होते हैं, अर्थात असतत समान वितरण में सभी मूल्यों के घटित होने की संभावना समान होती है।

उदाहरण के लिए, पासे के रोल को एक अलग समान वितरण के साथ परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि सभी संभावित परिणामों (1, 2, 3, 4, 5, या 6) के घटित होने की संभावना समान है।

सामान्य तौर पर, एक असतत समान वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर होते हैं, ए और बी , जो वितरण द्वारा लिए जा सकने वाले संभावित मानों की सीमा को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, जब एक चर को असतत समान वितरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो इसे Uniform(a,b) लिखा जाता है।

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

असतत समान वितरण का उपयोग यादृच्छिक प्रयोगों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि यदि सभी परिणामों की संभावना समान है, तो इसका मतलब है कि प्रयोग यादृच्छिक है।

➤ देखें: असतत समान वितरण का सूत्र

बर्नौली वितरण

बर्नौली वितरण , जिसे द्विभाजित वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक संभाव्यता वितरण है जो एक अलग चर का प्रतिनिधित्व करता है जिसके केवल दो परिणाम हो सकते हैं: “सफलता” या “असफलता”।

बर्नौली वितरण में, “सफलता” वह परिणाम है जिसकी हम अपेक्षा करते हैं और इसका मान 1 है, जबकि “असफलता” का परिणाम अपेक्षित परिणाम के अलावा एक परिणाम है और इसका मान 0 है। इसलिए, यदि परिणाम की संभावना ” सफलता” p है, “असफलता” के परिणाम की संभावना q=1-p है।

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

बर्नौली वितरण का नाम स्विस सांख्यिकीविद् जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है।

आंकड़ों में, बर्नौली वितरण का मुख्य रूप से एक अनुप्रयोग है: प्रयोगों की संभावनाओं को परिभाषित करना जिसमें केवल दो संभावित परिणाम हैं: सफलता और विफलता। तो, एक प्रयोग जो बर्नौली वितरण का उपयोग करता है उसे बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग कहा जाता है।

➤ देखें: बर्नौली वितरण सूत्र

द्विपद वितरण

द्विपद वितरण , जिसे द्विपद वितरण भी कहा जाता है, एक संभाव्यता वितरण है जो सफलता की निरंतर संभावना के साथ स्वतंत्र, द्विभाजित प्रयोगों की एक श्रृंखला निष्पादित करते समय सफलताओं की संख्या की गणना करता है। दूसरे शब्दों में, द्विपद वितरण एक ऐसा वितरण है जो बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम के सफल परिणामों की संख्या का वर्णन करता है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के के 25 बार शीर्ष पर आने की संख्या एक द्विपद वितरण है।

सामान्य तौर पर, किए गए प्रयोगों की कुल संख्या को पैरामीटर n से परिभाषित किया जाता है, जबकि p प्रत्येक प्रयोग की सफलता की संभावना है। इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर जो द्विपद वितरण का अनुसरण करता है उसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

ध्यान दें कि द्विपद वितरण में, एक ही प्रयोग को n बार दोहराया जाता है और प्रयोग एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, इसलिए प्रत्येक प्रयोग की सफलता की संभावना समान होती है (पी) ।

➤ देखें: द्विपद बंटन सूत्र

मछली वितरण

पॉइसन वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो किसी निश्चित समयावधि में घटित होने वाली घटनाओं की संख्या की संभावना को परिभाषित करता है। दूसरे शब्दों में, पॉइसन वितरण का उपयोग यादृच्छिक चर को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो एक समय अंतराल में किसी घटना को दोहराने की संख्या का वर्णन करता है।

उदाहरण के लिए, एक टेलीफोन एक्सचेंज को प्रति मिनट मिलने वाली कॉलों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है जिसे पॉइसन वितरण का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

पॉइसन वितरण में एक विशिष्ट पैरामीटर होता है, जिसे ग्रीक अक्षर λ द्वारा दर्शाया जाता है और यह इंगित करता है कि किसी दिए गए अंतराल के दौरान अध्ययन की गई घटना कितनी बार घटित होने की उम्मीद है।

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ देखें: मछली वितरण सूत्र

बहुपद वितरण

बहुपद वितरण (या बहुपद वितरण ) एक संभाव्यता वितरण है जो कई परीक्षणों के बाद एक निश्चित संख्या में घटित होने वाली कई परस्पर अनन्य घटनाओं की संभावना का वर्णन करता है।

अर्थात्, यदि एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप तीन या अधिक विशिष्ट घटनाएँ हो सकती हैं और प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना ज्ञात है, तो बहुपद वितरण का उपयोग इस संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है कि जब कई प्रयोग किए जाते हैं, तो एक निश्चित संख्या में घटनाएँ घटित होती हैं। हर बार समय.

इसलिए बहुपद वितरण द्विपद वितरण का एक सामान्यीकरण है।

➤ देखें: बहुपद वितरण सूत्र

ज्यामितीय वितरण

ज्यामितीय वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो पहले सफल परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक बर्नौली परीक्षणों की संख्या को परिभाषित करता है। अर्थात्, एक ज्यामितीय वितरण मॉडल प्रक्रियाएँ जिसमें बर्नौली प्रयोग तब तक दोहराए जाते हैं जब तक कि उनमें से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त नहीं कर लेता।

उदाहरण के लिए, एक सड़क पर गुजरने वाली कारों की संख्या जब तक उन्हें पीली कार दिखाई नहीं देती, एक ज्यामितीय वितरण है।

याद रखें कि बर्नौली परीक्षण एक ऐसा प्रयोग है जिसके दो संभावित परिणाम हैं: “सफलता” और “असफलता।” इसलिए यदि “सफलता” की संभावना p है, तो “असफलता” की संभावना q=1-p है।

इसलिए ज्यामितीय वितरण पैरामीटर p पर निर्भर करता है, जो कि किए गए सभी प्रयोगों की सफलता की संभावना है। इसके अलावा, प्रायिकता p सभी प्रयोगों के लिए समान है।

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ देखें: ज्यामितीय वितरण सूत्र

नकारात्मक द्विपद वितरण

नकारात्मक द्विपद वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक निश्चित संख्या में सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक बर्नौली परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है।

इसलिए, एक नकारात्मक द्विपद वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर होते हैं: आर वांछित सफल परिणामों की संख्या है और पी प्रत्येक बर्नौली प्रयोग के लिए सफलता की संभावना है।

$X\sim \text{BN}(r,p)$

इस प्रकार, एक नकारात्मक द्विपद वितरण एक ऐसी प्रक्रिया को परिभाषित करता है जिसमें सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यकतानुसार कई बर्नौली परीक्षण किए जाते हैं। इसके अलावा, ये सभी बर्नौली परीक्षण स्वतंत्र हैं और इनमें सफलता की निरंतर संभावना है।

उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर जो एक नकारात्मक द्विपद वितरण का अनुसरण करता है वह संख्या है कि एक पासे को कितनी बार घुमाया जाना चाहिए जब तक कि संख्या 6 को तीन बार न घुमाया जाए।

➤ देखें: ऋणात्मक द्विपद बंटन का सूत्र

हाइपरज्यामितीय वितरण

हाइपरजियोमेट्रिक वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो किसी जनसंख्या से n तत्वों के प्रतिस्थापन के बिना यादृच्छिक निष्कर्षण में सफल मामलों की संख्या का वर्णन करता है।

अर्थात्, किसी जनसंख्या से n तत्वों को बिना किसी प्रतिस्थापन के निकालते समय x सफलताएँ प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का उपयोग किया जाता है।

इसलिए, हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के तीन पैरामीटर हैं:

एन : जनसंख्या में तत्वों की संख्या है (एन = 0, 1, 2,…)।
K : सफलता के मामलों की अधिकतम संख्या है (K = 0, 1, 2,…,N)। चूंकि हाइपरजियोमेट्रिक वितरण में किसी तत्व को केवल “सफलता” या “विफलता” माना जा सकता है, एनके विफलता के मामलों की अधिकतम संख्या है।
n : किए गए बिना-प्रतिस्थापन फ़ेच की संख्या है।

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ देखें: हाइपरजियोमेट्रिक वितरण सूत्र

असतत और सतत संभाव्यता वितरण

अंत में, हम असतत संभाव्यता वितरण और निरंतर संभाव्यता वितरण के बीच अंतर देखेंगे, क्योंकि यह जानना महत्वपूर्ण है कि इन दो प्रकार के वितरणों को कैसे अलग किया जाए।

असतत वितरण और सतत वितरण के बीच का अंतर उन मूल्यों की संख्या है जो वे ले सकते हैं। एक सतत वितरण कोई भी मान ले सकता है, दूसरी ओर, एक असतत वितरण कोई भी मान स्वीकार नहीं करता है बल्कि केवल एक सीमित संख्या में मान ले सकता है।

निरंतर वितरणों को असतत वितरणों से अलग करने का एक तरीका यह निर्धारित करना है कि उनमें किस प्रकार की संख्याएँ हो सकती हैं। आम तौर पर, एक सतत वितरण दशमलव संख्याओं सहित कोई भी मान ले सकता है, जबकि असतत वितरण केवल पूर्णांक ले सकता है। ध्यान रखें कि यह टिप सभी मामलों में काम नहीं करती, बल्कि अधिकांश मामलों में काम करती है।

➤ देखें: सतत संभाव्यता वितरण क्या है?

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने