अनुमान अंतराल

द्वारा अगस्त 3, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सांख्यिकी में अंतराल अनुमान क्या है। आप यह भी सीखेंगे कि अंतराल अनुमान कैसे किया जाता है और अंततः, अंतराल अनुमान बिंदु अनुमान से कैसे भिन्न होता है।

अंतराल अनुमान क्या है?

आंकड़ों में, अंतराल अनुमान एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें एक अंतराल का उपयोग करके जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाया जाता है। अधिक सटीक रूप से, अंतराल अनुमान में उस अंतराल की गणना करना शामिल है जिसमें पैरामीटर मान एक निश्चित स्तर के आत्मविश्वास के साथ पाए जाने की सबसे अधिक संभावना है।

उदाहरण के लिए, यदि एक अंतराल अनुमान में हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि 95% के आत्मविश्वास स्तर के साथ जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (3.7) है, तो इसका मतलब है कि अध्ययन की गई जनसंख्या का माध्य 3 और 7 के बीच होगा। संभावना 95% है.

सामान्य तौर पर, किसी जनसंख्या का आकार उसके सभी व्यक्तियों का अध्ययन करने के लिए बहुत बड़ा होता है, इसलिए इसके सांख्यिकीय माप का मूल्य निश्चितता के साथ नहीं, बल्कि एक अनुमान के साथ जाना जा सकता है।

इस प्रकार, नमूना डेटा के आधार पर, अंतराल अनुमान का उपयोग उन मानों की सीमा का एक अनुमान प्रदान करने के लिए किया जाता है जिनके बीच जनसंख्या पैरामीटर स्थित है। इस प्रकार, एक नमूने से अध्ययन किए गए डेटा से जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है।

अंत में, अंतराल अनुमान के अर्थ को पूरी तरह से समझने के लिए, आपको आत्मविश्वास अंतराल की अवधारणा के बारे में स्पष्ट होना होगा। कॉन्फिडेंस इंटरवल वह अंतराल है जो त्रुटि की गुंजाइश के साथ, उन मानों का एक अनुमान प्रदान करता है जिनके बीच जनसंख्या पैरामीटर का मान निहित होता है। इसलिए, विश्वास अंतराल एक अंतराल अनुमान से प्राप्त परिणाम है।

अंतराल अनुमान सूत्र

नीचे आपको आत्मविश्वास अंतराल का अनुमान लगाने के लिए अलग-अलग सूत्र मिलेंगे, क्योंकि इस पर निर्भर करते हुए कि आप माध्य के लिए, भिन्नता के लिए या अनुपात के लिए विश्वास अंतराल का अनुमान लगाना चाहते हैं, उपयोग करने का सूत्र अलग है।

माध्य के लिए विश्वास अंतराल

मान लीजिए कि एक वेरिएबल दर्ज करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना नमूना माध्य से जोड़कर और घटाकर Z α/2 के मान को मानक विचलन (σ) से गुणा करके और नमूने के आकार (n) के वर्गमूल से विभाजित करके की जाती है। इसलिए, माध्य के विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र है:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

बड़े नमूना आकार और 95% आत्मविश्वास स्तर के लिए, महत्वपूर्ण मान Z α/2 = 1.96 है और 99% आत्मविश्वास स्तर के लिए, महत्वपूर्ण मान Z α/2 = 2.576 है।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या भिन्नता ज्ञात होती है। हालाँकि, यदि जनसंख्या भिन्नता अज्ञात है, जो कि सबसे आम मामला है, तो माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

सोना:

  • \overline{x}

    नमूना साधन है.

  • t_{\alpha/2}

    α/2 की संभावना के साथ स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के छात्र के t वितरण का मान है।

  • s

    नमूना मानक विचलन है.

  • n

    नमूना आकार है.

विश्वास अंतराल

विचरण के लिए विश्वास अंतराल

किसी जनसंख्या के विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए, ची-स्क्वायर वितरण का उपयोग किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र है:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

सोना:

  • n

    नमूना आकार है.

  • s

    नमूना मानक विचलन है.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    α/2 से कम संभावना के लिए स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के साथ ची-स्क्वायर वितरण का मान है।

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    1-α/2 से अधिक संभावना के लिए स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के साथ ची-स्क्वायर वितरण का मान है।

अनुपात के लिए विश्वास अंतराल

अनुपात के लिए विश्वास अंतराल की गणना नमूना अनुपात से Z α/2 के मूल्य को जोड़कर और घटाकर नमूना अनुपात (पी) के वर्गमूल से गुणा करके 1-पी से गुणा करके और नमूना आकार (एन) से विभाजित करके की जाती है। इसलिए, अनुपात के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र है:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

सोना:

  • p

    नमूना अनुपात है.

  • n

    नमूना आकार है.

  • Z_{\alpha/2}

    α/2 की संभावना के अनुरूप मानक सामान्य वितरण की मात्रा है। बड़े नमूना आकार और 95% आत्मविश्वास स्तर के लिए यह आमतौर पर 1.96 के करीब है और 99% आत्मविश्वास स्तर के लिए यह आमतौर पर 2.576 के करीब है।

अंतराल अनुमान और बिंदु अनुमान

अंत में, हम देखेंगे कि अंतराल अनुमान और बिंदु अनुमान के बीच क्या अंतर हैं, क्योंकि जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान अंतराल का उपयोग करके लगाया जा सकता है (जैसा कि हमने पूरे लेख में देखा है) या बिंदु मान के माध्यम से।

अंतराल अनुमान और बिंदु अनुमान के बीच का अंतर पैरामीटर अनुमान में प्रयुक्त मानों की सीमा है। अंतराल अनुमान में, एक पैरामीटर को एक विश्वास अंतराल के करीब अनुमानित किया जाता है, जबकि बिंदु अनुमान में, पैरामीटर को एक विशिष्ट मान के लिए अनुमानित किया जाता है।

इसलिए, बिंदु अनुमान में, नमूना डेटा से गणना की गई एकल मान को जनसंख्या पैरामीटर मान का अनुमान माना जाता है। उदाहरण के लिए, नमूना माध्य का उपयोग करके जनसंख्या माध्य का सटीक अनुमान लगाया जा सकता है।

इस प्रकार, अंतराल अनुमान की तुलना में बिंदु अनुमान के फायदे और नुकसान हैं, जैसे कि प्रत्येक प्रकार का अनुमान किसी दिए गए स्थिति में उपयोग के लिए उपयुक्त है। अधिक जानने के लिए निम्नलिखित लिंक पर क्लिक करें:

लेखक के बारे में

Benjamin Anderson
डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

एक टिप्पणी जोड़ने

आपका ईमेल पता प्रकाशित नहीं किया जाएगा. आवश्यक फ़ील्ड चिह्नित हैं *