ची – वर्ग परीक्षण

द्वारा अगस्त 2, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सांख्यिकी में ची-स्क्वायर परीक्षण क्या है और इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। आप यह भी जानेंगे कि ची-स्क्वायर परीक्षण कैसे करें और, इसके अलावा, चरण-दर-चरण हल किया गया अभ्यास भी।

ची स्क्वायर टेस्ट क्या है?

ची-स्क्वायर परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि अपेक्षित आवृत्ति और देखी गई आवृत्ति के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं।

तार्किक रूप से, ची-स्क्वायर परीक्षण आँकड़ा ची-स्क्वायर वितरण का अनुसरण करता है। इसलिए परीक्षण आँकड़ों के मूल्य की तुलना ची-स्क्वायर वितरण के एक विशेष मूल्य से की जानी चाहिए। नीचे हम देखेंगे कि ची स्क्वायर परीक्षण कैसे किया जाता है।

इस प्रकार के सांख्यिकीय परीक्षण को पियर्सन ची-स्क्वायर परीक्षण के रूप में भी जाना जाता है और कभी-कभी इसे ची-स्क्वायर वितरण के प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है: χ² परीक्षण ।

ची-स्क्वायर परीक्षण सूत्र

ची-स्क्वायर परीक्षण आँकड़ा अपेक्षित मूल्यों से विभाजित अपेक्षित मूल्यों और अपेक्षित मूल्यों के बीच अंतर के वर्गों के योग के बराबर है।

तो, ची-स्क्वायर परीक्षण का सूत्र है:

\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}

सोना:

  • \chi^2

    ची-स्क्वायर परीक्षण आँकड़ा है, जो ची-स्क्वायर वितरण का अनुसरण करता है

    k-1

    स्वतंत्रता की कोटियां।

  • k

    डेटा नमूना आकार है.

  • O_i

    डेटा i के लिए प्रेक्षित मान है।

  • E_i

    डेटा के लिए अपेक्षित मान है i.

ची-स्क्वायर परीक्षण की परिकल्पना परीक्षण की शून्य परिकल्पना यह है कि देखे गए मान अपेक्षित मानों के बराबर हैं। दूसरी ओर, परीक्षण की वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि देखे गए मूल्यों में से एक उसके अपेक्षित मूल्य से भिन्न है।

\begin{cases}H_0:O_i=E_i \quad \forall i\\[2ex]H_1:\exists \ O_i\neq E_i \end{cases}

तो, महत्व का एक स्तर दिया गया है

\alpha

, परिकलित परीक्षण आँकड़ों की तुलना महत्वपूर्ण परीक्षण मान से की जानी चाहिए ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि शून्य परिकल्पना या वैकल्पिक परिकल्पना को अस्वीकार किया जाए या नहीं:

  • यदि परीक्षण आँकड़ा महत्वपूर्ण मान से कम है

    \chi_{1-\alpha|k-1}^2

    , वैकल्पिक परिकल्पना अस्वीकार कर दी जाती है (और शून्य परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है)।

  • यदि परीक्षण आँकड़ा महत्वपूर्ण मान से अधिक है

    \chi_{1-\alpha|k-1}^2

    , शून्य परिकल्पना अस्वीकार कर दी जाती है (और वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है)।

\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class= ची स्क्वायर परीक्षण का उदाहरण

एक बार जब हमने ची स्क्वायर टेस्ट की परिभाषा देख ली और इसका सूत्र क्या है, तो चरण दर चरण हल किया गया उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है ताकि आप देख सकें कि इस प्रकार का सांख्यिकीय परीक्षण कैसे किया जाता है।

  • एक स्टोर मालिक का कहना है कि उसकी बिक्री का 50% उत्पाद A के लिए है, उसकी बिक्री का 35% उत्पाद B के लिए है, और उसकी बिक्री का 15% उत्पाद C के लिए है। हालाँकि, प्रत्येक उत्पाद की बेची गई इकाइयाँ वही हैं जो उन्हें प्रस्तुत की गई हैं निम्नलिखित आकस्मिकता तालिका में. विश्लेषण करें कि क्या स्वामी का सैद्धांतिक डेटा एकत्र किए गए वास्तविक डेटा से सांख्यिकीय रूप से भिन्न है।
उत्पाद देखी गई बिक्री (O i )
उत्पाद ए 453
उत्पाद बी 268
उत्पाद सी 79
कुल 800

सबसे पहले, हमें स्टोर मालिक द्वारा अपेक्षित मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक उत्पाद की अपेक्षित बिक्री के प्रतिशत को प्राप्त कुल बिक्री की संख्या से गुणा करते हैं:

\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,5=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}

इसलिए, समस्या की आवृत्ति वितरण तालिका इस प्रकार है:

उत्पाद देखी गई बिक्री (O i ) अपेक्षित बिक्री (ई i )
उत्पाद ए 453 400
उत्पाद बी 268 280
उत्पाद सी 79 120
कुल 800 800

अब जब हमने सभी मानों की गणना कर ली है, तो हम परीक्षण आंकड़ों की गणना के लिए ची-स्क्वायर परीक्षण सूत्र लागू करते हैं:

\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}

एक बार परीक्षण आँकड़ों के मूल्य की गणना हो जाने के बाद, हम परीक्षण के महत्वपूर्ण मूल्य को खोजने के लिए ची-स्क्वायर वितरण तालिका का उपयोग करते हैं। ची-स्क्वायर वितरण है

k-1=3-1=2

स्वतंत्रता की डिग्री, इसलिए यदि हम महत्व का स्तर चुनते हैं

\alpha=0,05

परीक्षण का महत्वपूर्ण मान इस प्रकार है:

\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}

इस प्रकार, परीक्षण आँकड़ा (21.53) महत्वपूर्ण परीक्षण मान (5.991) से अधिक है, इसलिए, शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है और वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है। इसका मतलब यह है कि डेटा बहुत अलग है और इसलिए स्टोर मालिक को वास्तव में हुई बिक्री से भिन्न बिक्री की उम्मीद थी।

21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <h2 class= ची स्क्वायर टेस्ट की व्याख्या

ची स्क्वायर परीक्षण की व्याख्या केवल प्राप्त परीक्षण परिणाम से नहीं की जा सकती, बल्कि इसकी तुलना परीक्षण के महत्वपूर्ण मूल्य से की जानी चाहिए।

तार्किक रूप से, परिकलित परीक्षण आँकड़ों का मूल्य जितना छोटा होगा, प्रेक्षित डेटा अपेक्षित डेटा के समान उतना ही अधिक होगा। इसलिए, यदि ची-स्क्वायर परीक्षण परिणाम 0 है, तो इसका तात्पर्य है कि देखे गए मान और अपेक्षित मान बिल्कुल समान हैं। दूसरी ओर, परीक्षण परिणाम जितना अधिक होगा, इसका मतलब है कि देखे गए मान अपेक्षित मानों से उतने ही अधिक भिन्न होंगे।

हालाँकि, यह तय करने के लिए कि क्या दो डेटा सेट सांख्यिकीय रूप से भिन्न या समान हैं, शून्य परिकल्पना या इसके विपरीत की वैकल्पिक परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए, गणना किए गए परीक्षण मूल्य की तुलना महत्वपूर्ण परीक्षण मूल्य से करनी चाहिए। यदि परीक्षण आँकड़ा वितरण के महत्वपूर्ण मूल्य से कम है, तो वैकल्पिक परिकल्पना खारिज कर दी जाती है। दूसरी ओर, यदि परीक्षण आँकड़ा वितरण के महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।

लेखक के बारे में

Benjamin Anderson
डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

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