जोड़ नियम (या जोड़ नियम)

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि जोड़ का नियम, जिसे जोड़ का नियम भी कहा जाता है, क्या है और संभाव्यता और सांख्यिकी में इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। इसके अतिरिक्त, आप यह देख पाएंगे कि जोड़ नियम का सूत्र क्या है और हल किए गए अभ्यास जो बताएंगे कि इसका उपयोग कैसे करना है।

जोड़ने का नियम (या जोड़ने का नियम) क्या है?

जोड़ का नियम (या जोड़ नियम ) कहता है कि दो घटनाओं की संभावनाओं का योग प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना के योग के बराबर होता है जिसमें से एक ही समय में घटित होने वाली दोनों घटनाओं की संभावना को घटा दिया जाता है।

इसलिए, जोड़ नियम का सूत्र P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B) है।

इस प्रकार, दो संभावनाओं को जोड़ने के लिए, हम केवल प्रत्येक संभावना को नहीं जोड़ सकते हैं, क्योंकि हमें उस पद को भी घटाना होगा जो दो घटनाओं की संयुक्त संभावना का प्रतिनिधित्व करता है। हालाँकि, कुछ मामलों में, केवल प्रत्येक घटना की संभावना जोड़कर ही हम संभावनाओं के योग का सही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। नीचे हम देखेंगे कि ये मामले क्या हैं।

संक्षेप में, जोड़ नियम का उपयोग किसी घटना या किसी अन्य घटना के घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है, अर्थात, दो संभावित घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना।

अतिरिक्त नियम सूत्र

जोड़ का नियम कहता है कि घटना ए या घटना बी के घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें घटना ए के घटित होने की संभावना और घटना बी के घटित होने की संभावना को जोड़ना होगा और दोनों घटनाओं के एक ही समय में घटित होने की संभावना को घटाना होगा। .

इसलिए जोड़ नियम (या जोड़ नियम) का सूत्र इस प्रकार है:

सोना:

$P(A\cup B)$

घटना A या घटना B की प्रायिकता है.
$P(A)$

संभावना है कि घटना A घटित होगी।
$P(B)$

संभावना है कि घटना बी घटित होगी।
$P(A\cap B)$

घटना A और घटना B के घटित होने की संयुक्त संभावना है।

इसलिए, योग नियम का उपयोग करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि दो घटनाओं की संयुक्त संभावना की गणना कैसे करें। आप देख सकते हैं कि यह कैसे किया जाता है निम्नलिखित लिंक में:

➤ देखें: संयुक्त संभावना की गणना कैसे करें

विशिष्ट घटनाओं के लिए उदाहरण योग नियम

अवधारणा को समझने के लिए, आइए जोड़ नियम को कैसे लागू करें इसका एक उदाहरण देखें।

हमने एक डिब्बे में 10 नीली गेंदें, 6 नारंगी गेंदें और 4 हरी गेंदें रखीं। नीली या नारंगी गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

यह अभ्यास हमें इस या उस घटना के घटित होने की संभावना निर्धारित करने के लिए कहता है। इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हमें अतिरिक्त नियम सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

इसलिए, हम पहले लाप्लास के नियम का उपयोग करके प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना की गणना करते हैं:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{10}{10+6+4}=0,5$

$P(\text{bola naranja})=\cfrac{6}{10+6+4}=0,3$

हालाँकि, इस मामले में, दोनों घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं, क्योंकि वे दोपरस्पर अनन्य घटनाएँ हैं। इसलिए यदि हम नीली गेंद खींचते हैं तो हम नारंगी रंग की गेंद नहीं खींच सकते, और इसके विपरीत।

इसलिए, दोनों घटनाओं की संयुक्त संभावना शून्य है और इसलिए योग नियम सूत्र सरल है:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-\cancelto{0}{P(A\cap B)}$

तो नीली गेंद या नारंगी गेंद को पकड़ने की संभावना की गणना इस प्रकार है:

$\begin{aligned}P(\text{bola azul}\cup \text{bola naranja})&=P(\text{bola azul})+P(\text{bola azul})\\[2ex]&=0,5+0,3\\[2ex]&=0,8\end{aligned}$

संक्षेप में, बॉक्स से नीली या नारंगी गेंद निकलने की संभावना 80% है।

उदाहरण गैर-अनन्य घटनाओं के लिए नियम जोड़ें

जब घटनाएँ अनन्य होती हैं तो जोड़ नियम का एक ठोस उदाहरण देखने के बाद, अब हम देखेंगे कि जब घटनाएँ गैर-विशिष्ट होती हैं तो इस नियम का उपयोग कैसे किया जाता है।

यदि हम एक सिक्के को दो बार उछालते हैं, तो कम से कम एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता क्या है?

इस मामले में, घटनाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं, क्योंकि हम पहले थ्रो पर “हेड्स” और दूसरे थ्रो पर “टेल्स” प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए जोड़ नियम का सूत्र सरल नहीं है और इस प्रकार है:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

इसलिए, हमें सबसे पहले लाप्लास के नियम को लागू करके सिक्का उछालने पर “हेड्स” मिलने की संभावना की गणना करने की आवश्यकता है:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

इसके अतिरिक्त, दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए हम उत्पाद नियम का उपयोग करके दोनों घटनाओं की संयुक्त संभावना की गणना कर सकते हैं:

$P(\text{cara}\cap \text{cara})=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=0,5\cdot 0,5=0,25$

अंत में, इस संभावना को खोजने के लिए कि दो उछालों में से कम से कम एक में सिर गिर जाएगा, बस मानों को अतिरिक्त नियम सूत्र में प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

$\begin{aligned}P(\text{cara}\cup \text{cara})&=P(\text{cara})+P(\text{cara})-P(\text{cara}\cap \text{cara})\\[2ex]&=0,5+0,5-0,25\\[2ex]&=0,75\end{aligned}$

निष्कर्षतः, एक सिक्के को दो बार उछालने पर कम से कम एक बार हेड आने की संभावना 75% है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने