संभाव्यता के अभिगृहीत

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 अवर्गीकृत शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि संभाव्यता के सिद्धांत क्या हैं। तो आपको संभाव्यता की स्वयंसिद्ध परिभाषा, संभाव्यता के विभिन्न स्वयंसिद्ध क्या हैं और उनके अनुप्रयोग का एक उदाहरण मिलेगा।

संभाव्यता के तीन सिद्धांत क्या हैं?

संभाव्यता के अभिगृहीत हैं:

संभाव्यता अभिगृहीत 1 : किसी घटना की संभावना ऋणात्मक नहीं हो सकती।
संभाव्यता अभिगृहीत 2 : एक निश्चित घटना की संभावना 1 है।
संभाव्यता अभिगृहीत 3 : विशिष्ट घटनाओं के एक समूह की संभावना सभी संभावनाओं के योग के बराबर होती है।

संभाव्यता के तीन सिद्धांतों को कोलमोगोरोव सिद्धांतों के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि वे 1933 में इस रूसी गणितज्ञ द्वारा तैयार किए गए थे।

प्रत्येक प्रकार की संभाव्यता अभिगृहीत को नीचे अधिक विस्तार से समझाया गया है।

अभिगृहीत 1

संभाव्यता का पहला सिद्धांत कहता है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना ऋणात्मक नहीं हो सकती और इसलिए इसका मान 0 और 1 के बीच है।

$0\leq P(A)\leq 1$

यदि किसी घटना की संभावना शून्य है, तो इसका मतलब है कि उसका घटित होना असंभव है। दूसरी ओर, यदि किसी घटना की संभावना 1 है, तो इसका मतलब है कि यह घटना निश्चित रूप से घटित होगी। इसलिए, किसी घटना का संभाव्यता मान जितना अधिक होगा, उसके घटित होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

स्वयंसिद्ध 2

संभाव्यता का दूसरा सिद्धांत बताता है कि एक निश्चित घटना के घटित होने की संभावना 1 के बराबर है।

$P(\Omega)=1$

एक निश्चित घटना एक यादृच्छिक अनुभव का परिणाम है जो हमेशा घटित होगी। इसलिए, एक सुरक्षित घटना को यादृच्छिक प्रयोग के नमूना स्थान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

➤ देखें: सुरक्षित घटना

स्वयंसिद्ध 3

संभाव्यता का तीसरा सिद्धांत बताता है कि, विशिष्ट घटनाओं के एक सेट को देखते हुए, सभी घटनाओं की संयुक्त संभावना सभी घटित संभावनाओं के योग के बराबर है।

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

दो या दो से अधिक घटनाएँ तब विशिष्ट होती हैं जब वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं। इसलिए, संयुक्त संभाव्यता की गणना करने के लिए, उनके एक साथ घटित होने की संभावना को ध्यान में रखना आवश्यक नहीं है।

➤ देखें:घटनाओं को छोड़कर

संभाव्यता अभिगृहीतों का उदाहरण

उदाहरण के तौर पर, नीचे हम पासे को घुमाने के प्रयोग के कई परिणामों का विश्लेषण करेंगे ताकि आप देख सकें कि संभाव्यता के सिद्धांत पूरे होते हैं।

जब आप पासा घुमाते हैं, तो छह संभावित परिणाम होते हैं, जो इस प्रकार हैं:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

इस मामले में, सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, इसलिए प्रत्येक परिणाम की संभावना निर्धारित करने के लिए, हमें बस एक परिणाम की संभावना खोजने की आवश्यकता है। इसलिए, हम प्रत्येक संभावित परिणाम की संभावना की गणना करने के लिए लाप्लास नियम सूत्र लागू करते हैं:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

फिर, चूंकि प्रत्येक परिणाम प्राप्त करने की संभावना सकारात्मक है, संभावना का पहला सिद्धांत संतुष्ट है।

अब आइए दूसरे स्वयंसिद्ध की जाँच करें। इस मामले में, एक निश्चित घटना “1 से 6 तक एक संख्या प्राप्त करती है”, इसलिए हम प्रत्येक परिणाम प्राप्त करने की संभावना जोड़ते हैं:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

इस प्रकार, एक निश्चित घटना की संभावना 1 के बराबर है, इसलिए संभावना का दूसरा सिद्धांत भी पूरा हो गया है।

अंततः, संभाव्यता के तीसरे सिद्धांत को सत्यापित करना ही शेष रह जाता है। पासे को घुमाकर हम जो अलग-अलग परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, वे परस्पर अनन्य हैं, उदाहरण के लिए यदि हम 2 को घुमाते हैं, तो हमें 5 नहीं मिल सकता है। इसलिए, किन्हीं दो संख्याओं को प्राप्त करने के लिए गणना दो तरीकों से की जा सकती है: का उपयोग करके लाप्लास का नियम या प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता जोड़कर।

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

दोनों मामलों में हमें समान संभाव्यता मान मिलता है, इसलिए तीसरी संभाव्यता अभिगृहीत भी सत्य है।

संभाव्यता के सिद्धांतों से निकाले गए गुण

संभाव्यता के तीन सिद्धांतों से, हम निम्नलिखित गुण निकाल सकते हैं:

किसी असंभव घटना की संभावना शून्य है.

$P(\varnothing)=0$

किसी भी घटना की प्रायिकता 1 के बराबर या उससे कम होती है।

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

किसी घटना की प्रायिकता उसकी पूरक घटना की प्रायिकता को घटाकर एक के बराबर होती है।

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

यदि एक घटना को किसी अन्य घटना में शामिल किया जाता है, तो पहली घटना की संभावना दूसरी घटना की संभावना से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

दो घटनाओं के मिलन की संभावना उनकी संभावनाओं का योग घटाकर उनके प्रतिच्छेदन की संभावना है।

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

दो-दो असंगत घटनाओं के एक सेट को देखते हुए, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को जोड़कर उनकी संयुक्त संभावना की गणना की जाती है।

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

यदि नमूना स्थान परिमित है और एक घटना S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k } है, तो उक्त घटना के घटित होने की संभावना निम्नलिखित अभिव्यक्ति के बराबर है:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने