गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य)

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 5, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) क्या है और इसकी गणना कैसे करें। आपको गणितीय आशा का एक हल किया हुआ अभ्यास मिलेगा। इसके अतिरिक्त, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर से किसी भी डेटा सेट का अपेक्षित मूल्य पा सकते हैं।

गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) क्या है?

आंकड़ों में, अपेक्षा , जिसे अपेक्षित मूल्य भी कहा जाता है, एक संख्या है जो एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है। गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक घटनाओं के मूल्यों और उनके घटित होने की संबंधित संभावनाओं से बने सभी उत्पादों के योग के बराबर है।

अपेक्षा का प्रतीक पूंजी E है, उदाहरण के लिए, सांख्यिकीय चर X की अपेक्षा को E(X) द्वारा दर्शाया गया है।

इसी प्रकार, किसी डेटा सेट की गणितीय अपेक्षा का मान उसके माध्य (जनसंख्या माध्य) से मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना कैसे करें

असतत चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाना चाहिए:

प्रत्येक संभावित घटना को उसके घटित होने की संभावना से गुणा करें।
पिछले चरण में प्राप्त सभी परिणामों को जोड़ें।
प्राप्त मूल्य चर की गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) है।

इस प्रकार, असतत चर की गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

👉 आप किसी भी डेटा सेट के अपेक्षित मूल्य की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब यादृच्छिक चर असतत हो (ज्यादातर मामलों में)। लेकिन यदि चर निरंतर है, तो हमें गणितीय अपेक्षा प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

सोना

$f_x$

सतत चर का घनत्व फलन है

गणितीय अपेक्षा का उदाहरण

अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, नीचे एक ठोस उदाहरण दिया गया है ताकि आप देख सकें कि गणना कैसे की जाती है।

एक व्यक्ति एक खेल में भाग लेता है जिसमें वह पासा पलटते समय दिखाई देने वाली संख्या के आधार पर पैसे जीत या हार सकता है। यदि 1 रोल करता है तो आप $800 जीतते हैं, यदि 2 या 3 रोल करते हैं तो आप $500 खोते हैं और यदि 4, 5 या 6 रोल करते हैं तो आप $100 जीतते हैं। भाग लेने का मूल्य $50 है। क्या आप इस संभाव्यता खेल में भाग लेने की अनुशंसा करेंगे?

करने वाली पहली चीज़ प्रत्येक घटना की संभावना निर्धारित करना है। चूँकि एक पासे के छह फलक होते हैं, किसी भी संख्या के लुढ़कने की प्रायिकता है:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

इसलिए प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकता है:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

अब जब हम प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना जानते हैं, तो हम अपेक्षा के लिए गणितीय सूत्र लागू करते हैं:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

और हम गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) की गणना करते हैं:

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

अपेक्षित मूल्य इस खेल में भाग लेने की कीमत से कम है, इसलिए इसे न खेलना ही बेहतर होगा क्योंकि लंबे समय में आप पैसे खो देंगे। ऐसा हो सकता है कि यदि आप केवल 1 तक पहुंचने के बाद ही भाग लेते हैं, तो आप बड़ा लाभ कमाएंगे, लेकिन लंबे समय में नुकसान होने की संभावना अधिक है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय अपेक्षा का परिणाम कभी-कभी एक असंभव मूल्य होता है, उदाहरण के लिए, इस मामले में $16.67 प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

उम्मीद कैलकुलेटर

अपेक्षित मूल्य की गणना करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर में सांख्यिकीय डेटा का एक सेट दर्ज करें। आपको पहले बॉक्स में प्रत्येक घटना का मान और दूसरे बॉक्स में उसी क्रम में उसके घटित होने की संभावना डालनी होगी।

डेटा को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

गणितीय अपेक्षा के गुण

गणितीय अपेक्षा के गुण इस प्रकार हैं:

एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं है।

$E(k)=k$

एक यादृच्छिक चर को एक अदिश से गुणा करने की अपेक्षा इस चर को इस अदिश से गुणा करने की अपेक्षा के बराबर होती है।

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

दो चरों के योग की गणितीय अपेक्षा प्रत्येक चर की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

सामान्य तौर पर, दो चरों को गुणा करने से एक अलग गणितीय अपेक्षा उत्पन्न होती है। यदि चर स्वतंत्र हैं तो परिणाम वही होगा।

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

यदि किसी वेरिएबल के सभी मान शून्य से अधिक या उसके बराबर हैं, तो उस वेरिएबल की गणितीय अपेक्षा भी सकारात्मक या शून्य के बराबर है।

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

यदि एक चर के सभी मान दूसरे चर के सभी मानों से कम हैं, तो दोनों चर की अपेक्षाओं का संबंध समान होता है।

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

यदि हम जानते हैं कि एक चर दो मानों द्वारा सीमित है, तो इसकी गणितीय अपेक्षा तार्किक रूप से भी सीमित है।

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ गणितीय अपेक्षा का प्रयोग किसके लिए किया जाता है?

इस अंतिम भाग में, हम गणितीय आशा के अर्थ को गहराई से जानेंगे। सीधे तौर पर, हम देखेंगे कि इस सांख्यिकीय माप का उपयोग किस लिए किया जाता है और इस प्रकार अवधारणा को बेहतर ढंग से समझेंगे।

गणितीय अपेक्षा (या अपेक्षित मूल्य) का उपयोग संभाव्य स्थान में लंबी अवधि में प्राप्त या खोई जाने वाली अपेक्षित राशि का मूल्य जानने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा उस रिटर्न को इंगित करती है जो लंबी अवधि में प्राप्त होगा।

जब कोई व्यक्ति निवेश करने पर विचार कर रहा है, जैसे कि किसी कंपनी के शेयर खरीदना, तो ध्यान में रखने वाले मापदंडों में से एक गणितीय अपेक्षा है। क्योंकि यदि आपने यह निवेश कई बार किया, तो आपको जो आर्थिक रिटर्न प्राप्त होगा वह गणितीय अपेक्षा का मूल्य होगा। इसे प्राप्त लाभों का औसत माना जा सकता है।

इसी तरह, गणितीय अपेक्षा का उपयोग अन्य क्षेत्रों जैसे अर्थमिति, क्वांटम भौतिकी, व्यापार और यहां तक कि जीव विज्ञान में भी किया जाता है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने