मंझला

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 5, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि डेटा सेट का माध्य क्या है और असमूहीकृत डेटा और समूहीकृत डेटा के लिए माध्यिका कैसे ज्ञात करें। इसके अतिरिक्त, आप अंत में ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ किसी भी डेटा श्रृंखला के मध्य की गणना कर सकते हैं।

माध्यिका क्या है?

आंकड़ों में, माध्यिका सबसे छोटे से लेकर सबसे बड़े तक क्रमित सभी डेटा का मध्य मान है। दूसरे शब्दों में, माध्य क्रमित डेटा सेट को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

माध्यिका केंद्रीय स्थिति का एक माप है जिसका उपयोग संभाव्यता वितरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

आप किसी भी डेटा सेट के माध्य की गणना के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

सामान्यतः स्व शब्द का प्रयोग प्रायः मध्य के प्रतीक के रूप में किया जाता है।

अन्य केंद्रीय स्थिति माप माध्य और बहुलक हैं, नीचे हम उनके बीच अंतर देखेंगे। इसी प्रकार, गैर-केंद्रीय स्थिति के माप चतुर्थक, क्विंटाइल, डेसील, प्रतिशतक आदि हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि डेटा सेट का माध्य दूसरे चतुर्थक, पांचवें दशमलव और 50वें प्रतिशतक के साथ मेल खाता है।

माध्यिका की गणना कैसे करें

माध्यिका की गणना इस बात पर निर्भर करती है कि डेटा की कुल संख्या सम है या विषम:

यदि डेटा की कुल संख्या विषम है, तो माध्यिका वह मान होगा जो डेटा के ठीक बीच में आता है। कहने का तात्पर्य यह है कि वह मान जो क्रमबद्ध डेटा की स्थिति (n+1)/2 में है।

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

यदि डेटा बिंदुओं की कुल संख्या सम है, तो माध्य केंद्र में स्थित दो डेटा बिंदुओं का औसत होगा। यानी उन मानों का अंकगणितीय औसत जो ऑर्डर किए गए डेटा के स्थानों n/2 और n/2+1 पर पाए जाते हैं।

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

सोना

$n$

नमूने में डेटा आइटम की कुल संख्या है।

माध्यिका की गणना के उदाहरण

ताकि आप देख सकें कि माध्यिका की गणना कैसे की जाती है, नीचे वास्तविक दुनिया के दो उदाहरण दिए गए हैं, प्रत्येक मामले के लिए एक। सबसे पहले, एक विषम डेटा सेट के माध्य की गणना की जाएगी, फिर सम डेटा सेट के साथ माध्य की गणना की जाएगी।

विषम डेटा का माध्यिका

निम्नलिखित डेटा के माध्य की गणना करें: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

गणना करने से पहले हमें जो पहली चीज़ करने की ज़रूरत है वह डेटा को क्रमबद्ध करना है, यानी, हम संख्याओं को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक रखते हैं।

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

इस मामले में हमारे पास 11 अवलोकन हैं, इसलिए डेटा की कुल संख्या विषम है। इसलिए, हम माध्यिका की स्थिति की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करते हैं:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

इसलिए माध्यिका छठे स्थान पर स्थित डेटा होगा, जो इस मामले में मान 4 से मेल खाता है।

$Me=x_6=4$

सम डेटा का माध्यिका

निम्नलिखित प्रेक्षणों का माध्यिका क्या है? 2, 6, 2, 8, 9, 4, 7, 11, 4, 13

माध्यिका प्राप्त करने के लिए, आपको पहले सभी डेटा को आरोही क्रम में क्रमबद्ध करना होगा:

$2 \ 2 \ 4 \ 4 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 11 \ 13$

यह उदाहरण पिछले उदाहरण से भिन्न है, क्योंकि इस बार हमारे पास कुल 10 अवलोकन हैं, जो एक सम संख्या है। इसलिए, औसत निर्धारित करने की प्रक्रिया थोड़ी अधिक जटिल है।

आपको पहले उन दो केंद्रीय स्थितियों की गणना करनी होगी जिनके बीच मध्यिका पाई जाएगी, इसके लिए आपको निम्नलिखित दो सूत्र लागू करने होंगे:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{10}{2}+1=6$

इसलिए माध्यिका पांचवें और छठे स्थान के बीच होगी, जो क्रमशः मान 6 और 7 से मेल खाती है। सीधे तौर पर, माध्यिका उक्त मानों का अंकगणितीय औसत होगा:

$Me=\cfrac{x_5+x_6}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

माध्यिका कैलकुलेटर

इसकी माध्यिका की गणना करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर में एक सांख्यिकीय डेटा सेट दर्ज करें। डेटा को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

समूहीकृत डेटा के लिए माध्यिका

जब डेटा को अंतरालों में समूहीकृत किया जाता है तो माध्यिका की गणना करने के लिए, आपको पहले निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके वह अंतराल या बिन ढूंढना होगा जिसमें माध्यिका आती है:

$\cfrac{n+1}{2}$

इस प्रकार, माध्यिका उस अंतराल में होगी जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति पिछली बीजगणितीय अभिव्यक्ति के साथ प्राप्त संख्या से तुरंत अधिक है।

और एक बार जब हम उस अंतराल को जान लेते हैं जिससे माध्यिका संबंधित है, तो हमें माध्यिका का सटीक मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र को लागू करना होगा:

$Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

सोना:

L _i उस अंतराल की निचली सीमा है जिसमें माध्यिका स्थित है।
n प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
F _i-1 पिछले अंतराल की संचित निरपेक्ष आवृत्ति है।
f _i उस अंतराल की पूर्ण आवृत्ति है जिसमें माध्यिका स्थित है।
I _i मध्य अंतराल की चौड़ाई है।

उदाहरण के तौर पर, नीचे आपने एक अभ्यास हल किया है जिसमें अंतरालों में समूहीकृत डेटा के माध्य की गणना की जाती है।

डेटा सेट का माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले वह सीमा निर्धारित करनी होगी जिसमें यह आता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{30+1}{2} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

तो माध्यिका उस अंतराल में होगी जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति तुरंत 15.5 से अधिक है, जो इस मामले में अंतराल [60.70) है जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति 26 है। और एक बार जब हम माध्यिका अंतराल को जान लेते हैं, तो हम इसका दूसरा सूत्र लागू करते हैं प्रक्रिया:

$Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$Me=60+\cfrac{\displaystyle\frac{30+1}{2}-15}{11}\cdot 10=60,45$

अंततः, एकत्रित डेटा सेट का माध्य 60.45 है। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस प्रकार की समस्याओं में माध्यिका आमतौर पर एक दशमलव संख्या होती है।

माध्यिका, माध्य और बहुलक

इस अंतिम भाग में हम देखेंगे कि माध्यिका, माध्य और बहुलक के बीच क्या अंतर है। खैर, ये केंद्रीय स्थिति के तीन सांख्यिकीय माप हैं लेकिन इनके मायने अलग-अलग हैं।

जैसा कि हमने देखा है, माध्यिका को उस मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो डेटा ऑर्डर करते समय केंद्रीय स्थान पर होता है।

इसके विपरीत, माध्य सभी सांख्यिकीय डेटा का औसत मूल्य है। औसत की गणना करने के लिए, आपको सभी डेटा जोड़ना होगा और फिर परिणाम को डेटा बिंदुओं की संख्या से विभाजित करना होगा।

अंत में, मोड किसी डेटा श्रृंखला में सबसे अधिक दोहराया जाने वाला मान है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी तीन सांख्यिकीय उपाय संभाव्यता वितरण का वर्णन करने में मदद करते हैं, क्योंकि वे इसके केंद्रीय मूल्यों का एक विचार प्रदान करते हैं। हालाँकि, कोई भी माप दूसरे से बेहतर नहीं है, वे बस विभिन्न अवधारणाओं को संदर्भित करते हैं।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने