असंयुक्त या स्वतंत्र घटनाएँ: क्या अंतर है?

दो शब्द जिन्हें छात्र अक्सर भ्रमित करते हैं वे हैं असंयुक्त और स्वतंत्र ।

यहाँ कुछ शब्दों में अंतर है:

दो घटनाओं को असंयुक्त कहा जाता है यदि वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं।

दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना के घटित होने की संभावना पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

निम्नलिखित उदाहरण विभिन्न परिदृश्यों में इन दो शब्दों के बीच अंतर को दर्शाते हैं।

उदाहरण 1: एक सिक्का उछालें

परिदृश्य 1: मान लीजिए कि हम एक सिक्का उछालते हैं। यदि हम घटना ए को सिक्के के सिर पर उतरने के रूप में परिभाषित करते हैं और हम घटना बी को सिक्के के सिर पर उतरने के रूप में परिभाषित करते हैं, तो घटना ए और घटना बी असंयुक्त हैं क्योंकि सिक्का सिर और सतह पर नहीं उतर सकता है।

परिदृश्य 2 : मान लीजिए कि हम एक सिक्के को दो बार उछालते हैं। यदि हम घटना ए को पहली बार उछालने पर सिक्के के सिर पर उतरने के रूप में परिभाषित करते हैं और हम घटना बी को दूसरी बार उछालने पर सिक्के के सिर पर उतरने के रूप में परिभाषित करते हैं, तो घटना ए और घटना बी स्वतंत्र हैं क्योंकि एक ड्रा का परिणाम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है दूसरे का।

उदाहरण 2: एक पासा घुमाएँ

परिदृश्य 1: मान लीजिए कि हम एक पासा एक बार घुमाते हैं। यदि हम घटना A को वह घटना मानते हैं जहाँ पासा एक सम संख्या पर गिरता है और घटना B वह घटना है जहाँ पासा एक विषम संख्या पर गिरता है, तो घटना A और घटना B असंयुक्त हैं क्योंकि पासा एक सम संख्या और एक विषम संख्या पर नहीं गिर सकता है एक ही समय में संख्या.

परिदृश्य 2 : मान लीजिए कि हम एक पासे को दो बार घुमाते हैं। यदि हम घटना ए को पहले रोल पर “5” पर गिरने वाले पासे के रूप में परिभाषित करते हैं और हम घटना बी को दूसरे रोल पर “5” पर गिरने वाले पासे के रूप में परिभाषित करते हैं, तो घटना ए और घटना बी स्वतंत्र हैं क्योंकि एक का परिणाम पासा पलटने से दूसरे के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

उदाहरण 3: कार्ड का चयन करना

परिदृश्य 1: मान लीजिए कि हम 52 पत्तों के एक मानक डेक से एक पत्ता चुनते हैं। यदि हम घटना A को घटना मानते हैं कि कार्ड एक स्पेड है और हम घटना B को घटना मानते हैं कि कार्ड एक हीरा है, तो घटना A और घटना B असंयुक्त हैं क्योंकि कार्ड एक स्पेड और डायमंड नहीं हो सकता है। एक ही समय पर।

परिदृश्य 2 : मान लीजिए कि हम प्रतिस्थापन के साथ एक पंक्ति में दो बार मानक 52-कार्ड डेक से एक कार्ड का चयन करते हैं। यदि हम इवेंट ए को पहले ड्रा में कार्ड के स्पैड होने के रूप में परिभाषित करते हैं और हम इवेंट बी को दूसरे ड्रा में कार्ड के स्पैड होने के रूप में परिभाषित करते हैं, तो इवेंट ए और इवेंट बी स्वतंत्र हैं क्योंकि एक ड्रा का परिणाम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है दूसरे का।

संभाव्यता संकेतन: असंयुक्त घटनाएँ या स्वतंत्र घटनाएँ

संभाव्य संकेतन में लिखे जाने पर, हम कहते हैं कि घटनाएँ A और B असंयुक्त हैं यदि उनका प्रतिच्छेदन शून्य है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

• पी(ए∩बी) = 0

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमने पासे को एक बार घुमाया। मान लीजिए कि घटना A वह घटना है जहाँ पासा एक सम संख्या पर गिरता है और घटना B वह घटना है जहाँ पासा एक विषम संख्या पर गिरता है।

हम घटनाओं के लिए नमूना स्थान को इस प्रकार परिभाषित करेंगे:

• ए = {2, 4, 6}
• बी = {1, 3, 5}

ध्यान दें कि दो नमूना स्थानों के बीच कोई ओवरलैप नहीं है। इस प्रकार, घटनाएँ A और B असंयुक्त घटनाएँ हैं क्योंकि वे दोनों एक ही समय में घटित नहीं हो सकती हैं।

तो, हम लिख सकते हैं:

• पी(ए∩बी) = 0

इसी प्रकार, संभाव्य संकेतन में लिखे जाने पर, हम कहते हैं कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि निम्नलिखित सत्य है:

• पी(ए∩बी) = पी(ए) * पी(बी)

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम एक पासे को दो बार घुमाते हैं। मान लीजिए कि घटना A वह घटना है जहाँ पासा पहले रोल में “5” पर गिरता है और घटना B वह घटना है जहाँ पासा दूसरे रोल में “5” पर गिरता है।

यदि हम पासे के उतरने के सभी 36 संभावित तरीकों को लिखें, तो हम पाएंगे कि 36 में से केवल 1 परिदृश्य में पासा दोनों बार “5” पर गिरा। तो, हम कहेंगे P(A∩B) = 1/36।

हम यह भी जानते हैं कि पहली बार फेंकने पर पासा “5” पर गिरने की प्रायिकता P(A) = 1/6 है।

हम यह भी जानते हैं कि दूसरी बार फेंकने पर पासा “5” पर गिरने की प्रायिकता P(B) = 1/6 है।

तो, हम लिख सकते हैं:

• पी(ए∩बी) = पी(ए) * पी(बी)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

चूँकि यह समीकरण सत्य है, हम प्रभावी रूप से कह सकते हैं कि घटना A और घटना B इस परिदृश्य में स्वतंत्र हैं।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल विभिन्न सांख्यिकीय शब्दों पर अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

असंयुक्त घटनाएँ क्या हैं? (परिभाषा एवं उदाहरण)
परस्पर समावेशी या परस्पर अनन्य घटनाएँ