कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना कैसे करें: 3 उदाहरण समस्याएं

किसी माध्य के लिए आत्मविश्वास अंतराल मूल्यों की एक श्रृंखला है जिसमें एक निश्चित स्तर के आत्मविश्वास के साथ जनसंख्या माध्य शामिल होने की संभावना होती है।

किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = x +/- t*(s/√ n )

सोना:

• x : नमूना माध्य
• t: t का क्रांतिक मान
• एस: नमूना मानक विचलन
• n: नमूना आकार

ध्यान दें : यदि जनसंख्या मानक विचलन (σ) ज्ञात है और नमूना आकार 30 से अधिक है, तो हम सूत्र में महत्वपूर्ण मान को एज़ महत्वपूर्ण मान से बदल देते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि तीन अलग-अलग परिदृश्यों में माध्य के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण कैसे किया जाए:

• जनसंख्या मानक विचलन (σ) अज्ञात है
• जनसंख्या मानक विचलन (σ) ज्ञात है लेकिन n ≤ 30
• जनसंख्या मानक विचलन (σ) ज्ञात है और n > 30

चल दर!

उदाहरण 1: आत्मविश्वास अंतराल जब σ अज्ञात है

मान लीजिए कि हम एक निश्चित पौधे की प्रजाति की औसत ऊंचाई (इंच में) के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करना चाहते हैं।

मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना माध्य ( x ) = 12
• नमूना आकार (एन) = 19
• नमूना मानक विचलन = 6.3

इस विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• 95% सीआई = x +/- t*(s/√ n )
• 95% सीआई = 12 +/- टी _{एन-1, α/2} *(6.3/√ 19 )
• 95% सीआई = 12 +/- टी _18.025 *(6.3/√ 19 )
• 95% सीआई = 12 +/- 2.1009*(6.3/√ 19 )
• 95% सीआई = (8,964, 15,037)

इस विशेष पौधे की प्रजाति के लिए औसत जनसंख्या ऊंचाई के लिए 95% विश्वास अंतराल (8.964 इंच, 15.037 इंच) है।

नोट #1 : हमने 18 डिग्री स्वतंत्रता और 0.95 के आत्मविश्वास स्तर से जुड़े महत्वपूर्ण टी मान को खोजने के लिए व्युत्क्रम टी वितरण कैलकुलेटर का उपयोग किया।

नोट #2 : चूँकि जनसंख्या मानक विचलन (σ) अज्ञात है, हमने विश्वास अंतराल की गणना करते समय महत्वपूर्ण मान t का उपयोग किया।

उदाहरण 2: आत्मविश्वास अंतराल जब σ ज्ञात हो लेकिन n ≤ 30

मान लीजिए कि हम एक निश्चित कॉलेज प्रवेश परीक्षा के औसत स्कोर के लिए 99% आत्मविश्वास अंतराल की गणना करना चाहते हैं।

मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना माध्य ( x ) = 85
• नमूना आकार (एन) = 25
• जनसंख्या मानक विचलन (σ) = 3.5

इस विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• 99% सीआई = x +/- t*(s/√ n )
• 99% सीआई = 85 +/- टी _{एन-1, α/2} *(3.5/√ 25 )
• 99% सीआई = 85 +/- टी _24.005 *(3.5/√ 25 )
• 99% सीआई = 85 +/- 2.7969*(3.5/√ 25 )
• 99% सीआई = (83.042, 86.958)

इस कॉलेज प्रवेश परीक्षा में जनसंख्या के औसत स्कोर के लिए 99% आत्मविश्वास अंतराल (83.042, 86.958) है।

नोट #1 : हमने 24 डिग्री स्वतंत्रता और 0.99 के आत्मविश्वास स्तर से जुड़े महत्वपूर्ण टी मान को खोजने के लिए व्युत्क्रम टी वितरण कैलकुलेटर का उपयोग किया।

नोट #2 : चूँकि जनसंख्या मानक विचलन (σ) ज्ञात था लेकिन नमूना आकार (n) 30 से कम था, हमने आत्मविश्वास के अंतराल की गणना करते समय महत्वपूर्ण मान t का उपयोग किया।

उदाहरण 3: कॉन्फिडेंस अंतराल जब σ ज्ञात हो और n > 30

मान लीजिए कि हम कछुए की एक निश्चित प्रजाति के औसत वजन के लिए 90% विश्वास अंतराल की गणना करना चाहते हैं।

मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना माध्य ( x ) = 300
• नमूना आकार (एन) = 40
• जनसंख्या मानक विचलन (σ) = 15

इस विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• 90% सीआई = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% सीआई = 300 +/- 1.645*(15/√ 40 )
• 90% सीआई = (296,099, 303,901)

इस विशेष कछुए प्रजाति के औसत जनसंख्या भार के लिए 90% विश्वास अंतराल (83.042, 86.958) है।

नोट #1 : हमने 0.1 के महत्व स्तर से जुड़े महत्वपूर्ण z मान को खोजने के लिए क्रिटिकल Z वैल्यू कैलकुलेटर का उपयोग किया।

नोट #2 : चूँकि जनसंख्या मानक विचलन (σ) ज्ञात था और नमूना आकार (n) 30 से अधिक था, हमने विश्वास अंतराल की गणना करते समय महत्वपूर्ण मान z का उपयोग किया।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल आत्मविश्वास अंतराल के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

वास्तविक जीवन में आत्मविश्वास अंतराल के 4 उदाहरण
कॉन्फिडेंस इंटरवल निष्कर्ष कैसे लिखें
जाँच करने के लिए 6 विश्वास अंतराल परिकल्पनाएँ