A या b की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें: उदाहरण सहित

दो घटनाओं, ए और बी को देखते हुए, “ए या बी की संभावना ढूंढना” का अर्थ है कि घटना ए या घटना बी के घटित होने की संभावना का पता लगाना।

हम आम तौर पर इस संभावना को दो तरह से लिखते हैं:

• पी(ए या बी) – लिखित रूप
• पी(ए∪बी) – फॉर्म नोटेशन

हम इस संभावना की गणना कैसे करते हैं यह इस बात पर निर्भर करता है कि घटनाएँ A और B परस्पर अनन्य हैं या नहीं। दो घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं यदि वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं।

यदि A और B परस्पर अनन्य हैं , तो P(A∪B) की गणना के लिए हम जिस सूत्र का उपयोग करते हैं वह है:

 Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

यदि A और B परस्पर अनन्य नहीं हैं , तो P(A∪B) की गणना के लिए हम जिस सूत्र का उपयोग करते हैं वह है:

 Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

ध्यान दें कि P(A∩B) घटना A और घटना B दोनों के घटित होने की संभावना है।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि इन सूत्रों को व्यवहार में कैसे उपयोग किया जाए।

उदाहरण: परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए P(A∪B)।

उदाहरण 1: पासा पलटने पर 2 या 5 आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान: यदि हम घटना A को 2 को रोल करने और घटना B को 5 को रोल करने के रूप में परिभाषित करते हैं, तो ये दोनों घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं क्योंकि हम एक ही समय में 2 और 5 को रोल नहीं कर सकते हैं। तो हमें 2 या 5 मिलने की प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जाती है:

पी(ए∪बी) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3।

उदाहरण 2: मान लीजिए कि एक कलश में 3 लाल गेंदें, 2 हरी गेंदें और 5 पीली गेंदें हैं। यदि हम यादृच्छिक रूप से एक गेंद चुनते हैं, तो लाल गेंद या हरी गेंद चुनने की प्रायिकता क्या है?

समाधान: यदि हम घटना A को लाल गेंद के चयन के रूप में और घटना B को हरी गेंद के चयन के रूप में परिभाषित करते हैं, तो ये दोनों घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं क्योंकि हम एक समय में लाल और हरे रंग की एक गेंद का चयन नहीं कर सकते हैं। इसलिए संभावना है कि हम लाल या हरी गेंद का चयन करेंगे, इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

पी(ए∪बी) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2।

उदाहरण: गैर-परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए P(A ∪ B)।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि P(A∪B) की गणना कैसे करें जब A और B परस्पर अनन्य घटनाएँ नहीं हैं।

उदाहरण 1: यदि हम 52 ताशों की मानक गड्डी में से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता चुनते हैं, तो हुकुम या रानी में से किसी एक को चुनने की प्रायिकता क्या है?

समाधान: इस उदाहरण में, ऐसा कार्ड चुनना संभव है जो स्पेड और क्वीन दोनों हो, इसलिए ये दोनों घटनाएं परस्पर अनन्य नहीं हैं।

यदि हम घटना A को कुदाल चुनने की घटना और घटना B को रानी चुनने की घटना मानते हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित संभावनाएँ हैं:

• पी(ए) = 13/52
• पी(बी) = 4/52
• पी(ए∩बी) = 1/52

तो, कुदाल या रानी में से किसी एक को चुनने की संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

उदाहरण 2: यदि हम एक पासा उछालते हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह 3 से बड़ी संख्या या सम संख्या पर गिरेगा?

समाधान: इस उदाहरण में, पासे का किसी ऐसी संख्या पर पड़ना संभव है जो 3 से बड़ी और सम दोनों हो, इसलिए ये दोनों घटनाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं।

यदि हम घटना A को 3 से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना मानते हैं और घटना B को एक सम संख्या प्राप्त करने की घटना मानते हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित संभावनाएँ होती हैं:

• पी(ए) = 3/6
• पी(बी) = 3/6
• पी(ए∩बी) = 2/6

इस प्रकार, पासा 3 से बड़ी संख्या या सम संख्या पर गिरने की प्रायिकता की गणना निम्नानुसार की जाती है:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.