सांख्यिकी में s/sqrt(n) का उपयोग कब करें

आंकड़ों में, आपको विभिन्न परिदृश्यों में सूत्र s/√ n का सामना करना पड़ेगा।

इस सूत्र का उपयोग नमूना माध्य की मानक त्रुटि की गणना करने के लिए किया जाता है।

सूत्र में, s नमूना मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है और n नमूना आकार का प्रतिनिधित्व करता है।

यह सूत्र दो सांख्यिकीय परीक्षणों की गणना में प्रकट होता है:

1. एक नमूना टी परीक्षण

2. जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि इन दो परिदृश्यों में s/√ n का उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 1: एक-नमूना टी-परीक्षण में s / sqrt(n) का उपयोग करना

एक-नमूना टी-परीक्षण का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि किसी जनसंख्या का माध्य एक निश्चित मूल्य के बराबर है या नहीं।

हम टी-टेस्ट आँकड़ा की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

टी = ( एक्स – μ) / (एस/ √एन )

सोना:

• x : नमूना माध्य
• μ ₀ : काल्पनिक जनसंख्या औसत
• एस: नमूना मानक विचलन
• n: नमूना आकार

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम परीक्षण करना चाहते हैं कि किसी दी गई आबादी में कछुओं का औसत वजन 300 पाउंड के बराबर है या नहीं।

हम निम्नलिखित जानकारी के साथ कछुओं का एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना आकार n = 40
• औसत नमूना वजन x = 300
• नमूना मानक विचलन s = 18.5

हम निम्नलिखित परिकल्पनाओं के साथ एक-नमूना टी-परीक्षण करेंगे:

• एच ₀ : μ = 310 (जनसंख्या का औसत 310 पुस्तकों के बराबर है)
• एच _ए : μ ≠ 310 (जनसंख्या माध्य 310 पाउंड के बराबर नहीं है)

सबसे पहले, हम परीक्षण आँकड़े की गणना करेंगे:

टी = ( एक्स – μ) / (एस/ √एन ) = (300-310) / (18.5/ √40 ) = -3.4187

टी स्कोर से पी वैल्यू कैलकुलेटर के अनुसार, टी = -3.4817 और स्वतंत्रता की डिग्री = एन-1 = 40-1 = 39 से जुड़ा पी मान 0.00149 है।

चूँकि यह पी-मान 0.05 से कम है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। हमारे पास यह कहने के लिए पर्याप्त सबूत हैं कि इस कछुए की प्रजाति का औसत वजन 310 पाउंड के बराबर नहीं है।

उदाहरण 2: जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल में s / sqrt(n) का उपयोग करना

जनसंख्या माध्य के लिए आत्मविश्वास अंतराल मूल्यों की एक श्रृंखला है जिसमें एक निश्चित स्तर के आत्मविश्वास के साथ जनसंख्या माध्य शामिल होने की संभावना है।

किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√ n )

सोना:

• x : नमूना माध्य
• टी: टी-क्रिटिकल मान
• एस: नमूना मानक विचलन
• n: नमूना आकार

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम एक निश्चित आबादी में कछुओं के वास्तविक औसत वजन के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करना चाहते हैं।

हम निम्नलिखित जानकारी के साथ कछुओं का एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना आकार n = 40
• औसत नमूना वजन x = 300
• नमूना मानक विचलन s = 18.5

कछुओं की आबादी के वास्तविक औसत वजन के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• 95% सीआई = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√ n )
• 95% सीआई = 300 +/- (2.022691) * (18.5/√ 40 )
• 95% सीआई = [294.083, 305.917]

कछुओं की आबादी के वास्तविक औसत वजन के लिए 95% विश्वास अंतराल 294,083 पाउंड और 305,917 पाउंड के बीच है।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल बताते हैं कि विभिन्न सॉफ़्टवेयर में माध्य की मानक त्रुटि की गणना कैसे करें:

एक्सेल में माध्य की मानक त्रुटि की गणना कैसे करें
आर में माध्य की मानक त्रुटि की गणना कैसे करें
पायथन में माध्य की मानक त्रुटि की गणना कैसे करें