एक माध्य के लिए विश्वास अंतराल
किसी माध्य के लिए आत्मविश्वास अंतराल मूल्यों की एक श्रृंखला है जिसमें एक निश्चित स्तर के आत्मविश्वास के साथ जनसंख्या माध्य शामिल होने की संभावना होती है।
यह ट्यूटोरियल निम्नलिखित बताता है:
- औसत के लिए आत्मविश्वास अंतराल बनाने की प्रेरणा।
- किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल बनाने का सूत्र।
- किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना कैसे करें इसका एक उदाहरण।
- किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल की व्याख्या कैसे करें।
औसत के लिए आत्मविश्वास अंतराल: प्रेरणा
हम किसी माध्य के लिए एक विश्वास अंतराल भी बनाना चाहेंगे, इसका कारण यह है कि जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाते समय हम अपनी अनिश्चितता को पकड़ना चाहते हैं।
उदाहरण के लिए, मान लें कि हम फ्लोरिडा में कछुए की एक विशेष प्रजाति के औसत वजन का अनुमान लगाना चाहते हैं। चूँकि फ्लोरिडा में हजारों कछुए हैं, इसलिए चारों ओर घूमना और प्रत्येक कछुए का अलग-अलग वजन करना बेहद समय लेने वाला और महंगा होगा।
इसके बजाय, हम 50 कछुओं का एक सरल यादृच्छिक नमूना ले सकते हैं और वास्तविक जनसंख्या औसत का अनुमान लगाने के लिए उस नमूने में कछुओं के औसत वजन का उपयोग कर सकते हैं:
समस्या यह है कि नमूने का औसत वजन पूरी आबादी के औसत वजन से बिल्कुल मेल खाने की गारंटी नहीं है। इसलिए, इस अनिश्चितता को पकड़ने के लिए, हम एक विश्वास अंतराल बना सकते हैं जिसमें आबादी में कछुओं के वास्तविक औसत वजन को शामिल करने की संभावना वाले मूल्यों की एक श्रृंखला शामिल है।
माध्य के लिए विश्वास अंतराल: सूत्र
किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
आत्मविश्वास अंतराल = x +/- z*(s/√ n )
सोना:
- x : नमूना माध्य
- z: चुना हुआ z मान
- एस: नमूना मानक विचलन
- n: नमूना आकार
आपके द्वारा उपयोग किया जाने वाला z मान आपके द्वारा चुने गए आत्मविश्वास के स्तर पर निर्भर करता है। निम्न तालिका z मान दिखाती है जो सबसे सामान्य आत्मविश्वास स्तर विकल्पों से मेल खाती है:
| आत्मविश्वास का एक स्तर | z मान |
|---|---|
| 0.90 | 1,645 |
| 0.95 | 1.96 |
| 0.99 | 2.58 |
ध्यान दें कि उच्च आत्मविश्वास स्तर बड़े z मानों के अनुरूप होते हैं, जिससे व्यापक आत्मविश्वास अंतराल होता है। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 99% विश्वास अंतराल समान डेटा सेट के लिए 95% विश्वास अंतराल से अधिक व्यापक होगा।
माध्य के लिए विश्वास अंतराल: उदाहरण
मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ कछुओं का एक यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:
- नमूना आकार n = 25
- औसत नमूना वजन x = 300
- नमूना मानक विचलन s = 18.5
यहां बताया गया है कि जनसंख्या के वास्तविक औसत वजन के लिए अलग-अलग आत्मविश्वास अंतराल कैसे खोजें:
90% विश्वास अंतराल: 300 +/- 1.645*(18.5/√ 25 ) = [293.91, 306.09]
95% आत्मविश्वास अंतराल: 300 +/- 1.96*(18.5/√ 25 ) = [292.75, 307.25]
99% आत्मविश्वास अंतराल: 300 +/- 2.58*(18.5/√ 25 ) = [ 290.47 , 309.53]
नोट: आप सांख्यिकीय कॉन्फिडेंस इंटरवल कैलकुलेटर का उपयोग करके भी इन कॉन्फिडेंस अंतरालों को पा सकते हैं।
माध्य के लिए विश्वास अंतराल: व्याख्या
जिस तरह से हम विश्वास अंतराल की व्याख्या करेंगे वह है:
95% संभावना है कि [292.75, 307.25] के आत्मविश्वास अंतराल में कछुओं की आबादी का सही औसत वजन शामिल है।
इसी बात को कहने का दूसरा तरीका यह है कि केवल 5% संभावना है कि वास्तविक जनसंख्या माध्य 95% विश्वास अंतराल के बाहर है। यानी, केवल 5% संभावना है कि कछुओं की आबादी का वास्तविक औसत वजन 307.25 पाउंड से अधिक या 292.75 पाउंड से कम होगा।
लेखक के बारे में
डॉ. बेंजामिन एंडरसन
नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने