"कम से कम तीन" सफलता की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें

परीक्षणों की एक श्रृंखला में कम से कम तीन सफलताओं की संभावना ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सामान्य सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

उपरोक्त सूत्र में, हम द्विपद वितरण के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक संभावना की गणना कर सकते हैं:

पी(एक्स=के) = _एन सी _के * पी ^के * (1-पी) ^एनके

सोना:

• n: परीक्षणों की संख्या
• k: सफलताओं की संख्या
• पी: किसी दिए गए परीक्षण पर सफलता की संभावना
• _n C _k : n परीक्षणों में k सफलताएँ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि विभिन्न परिदृश्यों में “कम से कम तीन” सफलताओं की संभावना खोजने के लिए इस सूत्र का उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 1: फ्री थ्रो प्रयास

टाय अपने फ्री थ्रो प्रयासों का 25% प्रयास करता है। यदि वह 5 फ्री थ्रो का प्रयास करता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम तीन फ्री थ्रो करता है।

सबसे पहले, आइए इस संभावना की गणना करें कि वह बिल्कुल शून्य, बिल्कुल एक, या बिल्कुल दो फ्री थ्रो करता है:

पी(एक्स=0) = ₅ सी ₀ * 0.25 ⁰ * (1-0.25) ^5-0 = 1 * 1 * 0.75 ⁵ = 0.2373

पी(एक्स=1) = ₅ सी ₁ * 0.25 ¹ * (1-0.25) ^5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 ⁴ = 0.3955

पी(एक्स=2) = ₅ सी ₂ * 0.25 ² * (1-0.25) ^5-2 = 10 * 0.0625 * 0.75 ³ = 0.2636

इसके बाद, आइए इन मानों को निम्न सूत्र में प्लग करें ताकि संभावना का पता लगाया जा सके कि Ty कम से कम तीन फ्री थ्रो करता है:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• पी(एक्स≥3) = 1 – 0.2373 – 0.3955 – 0.2636
• पी(एक्स≥3) = 0.1036

संभावना है कि टाय पांच प्रयासों में कम से कम तीन फ्री थ्रो करता है 0.1036 है।

उदाहरण 2: विजेट

किसी दिए गए कारखाने में, सभी विजेट में से 2% ख़राब हैं। 10 विजेट्स के यादृच्छिक नमूने में, संभावना निर्धारित करें कि कम से कम दो दोषपूर्ण हैं।

सबसे पहले, आइए इस संभावना की गणना करें कि बिल्कुल शून्य, बिल्कुल एक, या बिल्कुल दो दोषपूर्ण हैं:

पी(एक्स=0) = ₁₀ सी ₀ * 0.02 ⁰ * (1-0.02) ^10-0 = 1 * 1 * 0.98 ¹⁰ = 0.8171

पी(एक्स=1) = ₁₀ सी ₁ * 0.02 ¹ * (1-0.02) ^10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 ⁹ = 0.1667

पी(एक्स=2) = ₁₀ सी ₂ * 0.02 ² * (1-0.02) ^10-2 = 45 * 0.0004 * 0.98 ⁸ = 0.0153

इसके बाद, आइए कम से कम तीन विजेट के दोषपूर्ण होने की संभावना जानने के लिए इन मानों को निम्नलिखित सूत्र में प्लग करें:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• पी(एक्स≥3) = 1 – 0.8171 – 0.1667 – 0.0153
• पी(एक्स≥3) = 0.0009

10 के इस यादृच्छिक नमूने में कम से कम तीन विजेट दोषपूर्ण होने की संभावना 0.0009 है।

उदाहरण 3: सामान्य ज्ञान प्रश्न

बॉब सामान्य ज्ञान के 60% प्रश्नों का सही उत्तर देता है। यदि हम उससे 5 सामान्य प्रश्न पूछें, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम तीन का सही उत्तर देगा।

सबसे पहले, आइए इस संभावना की गणना करें कि वह बिल्कुल शून्य, बिल्कुल एक, या बिल्कुल दो सही उत्तर देता है:

पी(एक्स=0) = ₅ सी ₀ * 0.60 ⁰ * (1-0.60) ^5-0 = 1 * 1 * 0.40 ⁵ = 0.01024

पी(एक्स=1) = ₅ सी ₁ * 0.60 ¹ * (1-0.60) ^5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 ⁴ = 0.0768

पी(एक्स=2) = ₅ सी ₂ * 0.60 ² * (1-0.60) ^5-2 = 10 * 0.36 * 0.40 ³ = 0.2304

इसके बाद, आइए इन मानों को निम्न सूत्र में प्लग करें ताकि यह संभावना ज्ञात हो सके कि वह कम से कम तीन प्रश्नों का सही उत्तर देता है:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• पी(एक्स≥3) = 1 – 0.01024 – 0.0768 – 0.2304
• पी(एक्स≥3) = 0.6826

उसके पाँच में से कम से कम तीन प्रश्नों का सही उत्तर देने की प्रायिकता 0.6826 है।

बोनस: कम से कम तीन कैलकुलेटर की संभावना

किसी दिए गए परीक्षण में सफलता की संभावना और परीक्षणों की कुल संख्या के आधार पर, “कम से कम तीन” सफलताओं की संभावना को स्वचालित रूप से खोजने के लिए इस कैलकुलेटर का उपयोग करें।