कुल संभाव्यता प्रमेय

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि कुल संभाव्यता प्रमेय क्या है और संभाव्यता और सांख्यिकी में इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। तो, आपको कुल संभाव्यता प्रमेय का सूत्र, हल किए गए अभ्यास और जब कुल संभाव्यता प्रमेय का उपयोग किया जाता है, का सूत्र मिलेगा।

कुल संभाव्यता प्रमेय क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत में, कुल संभाव्यता प्रमेय एक कानून है जो किसी ऐसी घटना की संभावना की गणना करना संभव बनाता है जो उक्त नमूना स्थान में सभी घटनाओं की सशर्त संभावनाओं से नमूना स्थान का हिस्सा नहीं है।

इस प्रकार, कुल संभाव्यता प्रमेय का उपयोग उस घटना के बारे में आंशिक जानकारी के आधार पर किसी विशिष्ट घटना की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है। कभी-कभी हम लाप्लास के नियम को सीधे लागू करके किसी घटना की संभावना निर्धारित नहीं कर सकते क्योंकि हमारे पास सभी आवश्यक जानकारी नहीं होती है। लेकिन अगर हम इस घटना के बारे में अन्य घटनाओं के सापेक्ष डेटा जानते हैं, तो कुल संभाव्यता प्रमेय आमतौर पर उपयोगी होता है।

संक्षेप में, कुल संभाव्यता प्रमेय का उपयोग तब किया जाता है जब हम किसी घटना की संभावना की गणना करना चाहते हैं लेकिन केवल कुछ शर्तों के तहत ही इसके बारे में जानकारी रखते हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रमेय के कुछ अनुप्रयोगों में एकाधिक मामलों, कतार सिद्धांत और उत्तरजीविता विश्लेषण के प्रयोग शामिल हैं।

➤ देखें: लाप्लास का नियम

कुल संभाव्यता प्रमेय के लिए सूत्र

कुल संभाव्यता प्रमेय कहता है कि घटनाओं का एक सेट दिया गया है {ए ₁ , ए ₂ ,…, ए _एन } जो नमूना स्थान पर एक विभाजन बनाता है, घटना बी की संभावना प्रत्येक की संभावना के उत्पादों के योग के बराबर है घटना P(A _i ) सशर्त संभाव्यता P(B|A _i ) द्वारा।

इसलिए, कुल संभाव्यता प्रमेय का सूत्र है:

सोना:

$P(B)$

संभावना है कि घटना बी घटित होगी।
$P(B|A_i)$

घटना A _i दिए जाने पर घटना B की सशर्त संभाव्यता है।
$P(A_i)$

घटना A _i के घटित होने की प्रायिकता है।

ध्यान रखें कि संभाव्यता में, नमूना स्थान के विभाजन को पारस्परिक रूप से असंगत घटनाओं के एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनके संघ से नमूना स्थान बनता है।

➤ देखें: नमूना स्थान

कुल संभाव्यता प्रमेय का ठोस उदाहरण

कुल संभाव्यता प्रमेय की परिभाषा और इसका सूत्र क्या है, यह देखने के बाद, हम इसके अर्थ को बेहतर ढंग से समझने के लिए कुल संभाव्यता प्रमेय के साथ संभाव्यता की गणना कैसे की जाती है, इस पर एक हल अभ्यास देखेंगे।

एक इलेक्ट्रॉनिक्स स्टोर तीन ब्रांड के टेलीविजन बेचता है: एक्स, वाई, जेड। यह अनुमान लगाया गया है कि बिक्री का 20% ब्रांड टेलीविजन, % ब्रांड दोषपूर्ण और 4% जेड ब्रांड टेलीविजन हैं। टेलीविजन ख़राब हैं. दोषपूर्ण टीवी खरीदने की कितनी संभावना है?

समस्या विवरण हमें संभावनाएँ देता है कि एक ग्राहक प्रत्येक ब्रांड का टीवी खरीदेगा:

घटना ए ₁ : एक ग्राहक _एक ब्रांड का टेलीविजन खरीदता है
घटना A ₂ : एक ग्राहक ब्रांड Y से एक टेलीविजन खरीदता है → P(A ₂ )=0.50
घटना A ₃ : एक ग्राहक एक टेलीविजन ब्रांड Z खरीदता है → P(A ₃ )=0.30

इसके अतिरिक्त, अभ्यास विवरण हमें यह संभावना भी प्रदान करता है कि प्रत्येक ब्रांड का एक टेलीविजन ख़राब है:

इवेंट बी: टीवी ख़राब है

बी|ए ₁ : एक ब्रांड एक्स टेलीविजन दिया गया है, टेलीविजन दोषपूर्ण है → पी(बी|ए ₁ )=0.05
B|A ₂ : टेलीविज़न Y का एक ब्रांड दिया गया है, टेलीविज़न ख़राब है → P(B|A ₂ )=0.03
बी|ए ₃ : एक ब्रांड जेड टेलीविजन दिया गया है, टेलीविजन दोषपूर्ण है → पी(बी|ए ₃ )=0.04

इस प्रकार, समस्या का संभाव्यता वृक्ष इस प्रकार है:

इसलिए, दोषपूर्ण टीवी खरीदने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें कुल संभावना नियम के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

हमारे मामले में, नमूना स्थान तीन घटनाओं (ए ₁ , ए ₂ और ए ₃ ) से बना है, इसलिए कुल संभाव्यता प्रमेय का सूत्र इस प्रकार है:

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

इसलिए दोषपूर्ण टेलीविजन खरीदने की संभावना ज्ञात करने के लिए पिछली अभिव्यक्ति की संभावनाओं को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है:

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

निष्कर्ष के तौर पर, 3.7% संभावना है कि हम एक टीवी खरीदते हैं और वह ख़राब है।

कुल संभाव्यता प्रमेय और बेयस प्रमेय

कुल संभाव्यता प्रमेय और बेयस प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत में दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं, विशेष रूप से क्योंकि वे हमें सशर्त संभाव्यता मूल्यों से संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देते हैं।

बेयस प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत का एक नियम है जिसका उपयोग किसी घटना की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है जब उस घटना के बारे में प्राथमिक जानकारी ज्ञात होती है।

विशेष रूप से, कुल संभाव्यता प्रमेय और बेयस प्रमेय संबंधित हैं, वास्तव में, बेयस प्रमेय सूत्र का हर कुल संभाव्यता प्रमेय सूत्र के बराबर है।

बेयस प्रमेय क्या है और इसके अनुप्रयोग के उदाहरण देखने के लिए निम्नलिखित लिंक पर क्लिक करें:

➤ देखें: बेयस प्रमेय

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने