गुणन नियम

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि गुणन नियम, जिसे उत्पाद नियम भी कहा जाता है, संभाव्यता सिद्धांत में क्या है। तो, आप पाएंगे कि गुणन नियम का सूत्र क्या है, गुणन नियम का उपयोग करके संभाव्यता की गणना कैसे करें के उदाहरण और, इसके अलावा, अभ्यास के लिए कई हल किए गए अभ्यास।

गुणन नियम इस पर निर्भर करता है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं या आश्रित, इसलिए हम पहले देखेंगे कि स्वतंत्र घटनाओं के लिए नियम कैसा दिखता है और बाद में आश्रित घटनाओं के लिए।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम

याद रखें कि स्वतंत्र घटनाएँ एक सांख्यिकीय प्रयोग के परिणाम हैं जिनके घटित होने की संभावना एक दूसरे पर निर्भर नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि घटना A के घटित होने की संभावना घटना B के घटित होने पर निर्भर नहीं करती है और इसके विपरीत।

➤ देखें:स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं?

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम सूत्र

जब दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, तो गुणन नियम कहता है कि दोनों घटनाओं के घटित होने की संयुक्त संभावना प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर होती है।

इसलिए, स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम का सूत्र है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

सोना:

$A$

और

$B$

ये दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A\cap B)$

घटना A और घटना B के घटित होने की संयुक्त संभावना है।
$P(A)$

संभावना है कि घटना A घटित होगी।
$P(B)$

संभावना है कि घटना बी घटित होगी।

➤ देखें: संयुक्त संभावना क्या है?

स्वतंत्र घटनाओं के लिए उदाहरण गुणन नियम

एक सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। तीनों उछालों पर चित आने की प्रायिकता की गणना करें।

इस मामले में, जिन घटनाओं के लिए हम संयुक्त संभावना की गणना करना चाहते हैं वे स्वतंत्र हैं, क्योंकि ड्रॉ का परिणाम पिछले ड्रॉ में प्राप्त परिणाम पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, लगातार तीन शीर्ष प्राप्त करने की संयुक्त संभावना निर्धारित करने के लिए, हमें स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो केवल दो संभावित परिणाम होते हैं, हम चित या पट प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए, सिक्का उछालने पर चित या पट आने की प्रायिकता है:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

इसलिए, सिक्कों के तीनों उछालों पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हमें चित आने की प्रायिकता को तीन से गुणा करना होगा:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

संक्षेप में, लगातार तीन बार चित आने की संभावना 12.5% है।

नीचे आपके पास सभी संभावित घटनाओं को उनकी संभावनाओं के साथ एक वृक्ष आरेख में दर्शाया गया है, इस तरह आप संयुक्त संभावना प्राप्त करने के लिए हमारे द्वारा अपनाई गई प्रक्रिया को बेहतर ढंग से देख सकते हैं:

➤ देखें: वृक्ष आरेख क्या है?

आश्रित घटनाओं के लिए गुणन नियम

अब जब हमने देख लिया है कि स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम क्या है, तो आइए देखें कि आश्रित घटनाओं के लिए यह नियम कैसा दिखता है क्योंकि सूत्र थोड़ा भिन्न होता है।

याद रखें कि आश्रित घटनाएँ एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं जिनके घटित होने की संभावना एक दूसरे पर निर्भर करती है। अर्थात्, दो घटनाएँ निर्भर होती हैं यदि एक घटना के घटित होने की संभावना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित करती है।

➤ देखें: आश्रित घटनाएँ क्या हैं?

आश्रित घटनाओं के लिए गुणन नियम सूत्र

जब दो घटनाएँ निर्भर होती हैं, तो गुणन नियम कहता है कि दोनों घटनाओं के घटित होने की संयुक्त संभावना, पहली घटना को देखते हुए दूसरी घटना की सशर्त संभाव्यता द्वारा एक घटना के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है।

तो, आश्रित घटनाओं के लिए गुणन नियम का सूत्र है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

सोना:

$A$

और

$B$

ये दो आश्रित घटनाएँ हैं।
$P(A\cap B)$

घटना A और घटना B के घटित होने की प्रायिकता है।
$P(A)$

संभावना है कि घटना A घटित होगी।
$P(B|A)$

दी गई घटना A के घटित होने की सशर्त संभाव्यता घटना B है।

➤ देखें: सशर्त संभाव्यता क्या है?

आश्रित घटनाओं के लिए उदाहरण गुणन नियम

एक खाली डिब्बे में हमने 8 नीली गेंदें, 4 नारंगी गेंदें और 2 हरी गेंदें रखीं। यदि हम पहले एक गेंद निकालते हैं, फिर दूसरी गेंद निकालते हैं और पहली गेंद को वापस डिब्बे में डाले बिना, तो क्या प्रायिकता है कि पहली गेंद नीली और दूसरी गेंद नारंगी है?

इस मामले में, घटनाएँ निर्भर हैं, क्योंकि दूसरे ड्रॉ में नारंगी गेंद लेने की संभावना पहले ड्रॉ में निकाली गई गेंद के रंग पर निर्भर करती है। इसलिए, संयुक्त संभाव्यता की गणना करने के लिए, हमें आश्रित घटनाओं के लिए गुणन नियम सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

पहले ड्रा में नीली गेंद प्राप्त करने की संभावना निर्धारित करना आसान है, बस नीली गेंदों की संख्या को गेंदों की कुल संख्या से विभाजित करें:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

दूसरी ओर, नीली गेंद लेने के बाद नारंगी गेंद निकालने की संभावना की गणना अलग-अलग तरीके से की जाती है क्योंकि नारंगी गेंदों की संख्या अलग-अलग होती है और इसके अलावा, अब बॉक्स के अंदर एक गेंद कम हो जाती है:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

इस प्रकार, पहले नीली गेंद फिर नारंगी गेंद निकालने की संयुक्त संभावना की गणना ऊपर दी गई दो संभावनाओं को गुणा करके की जाती है:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ देखें: जोड़ नियम

गुणन नियम के हल किये गये अभ्यास

अभ्यास 1

एक कस्बे में केवल 3 डेकेयर सेंटर हैं: 60% बच्चे डेकेयर ए में जाते हैं, 30% डेकेयर बी में और 10% डेकेयर सी में जाते हैं। इसके अलावा, तीन डेकेयर सेंटरों में 55% लोग लड़कियाँ हैं। निम्नलिखित संभावनाओं की गणना करें:

संभावना है कि जब डेकेयर बी से एक बच्चे को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो वह एक लड़की होगी।
संभावना है कि जब किसी डेकेयर सेंटर से यादृच्छिक रूप से एक बच्चे का चयन किया जाता है, तो वह एक लड़का होगा।

समाधान देखें

यदि सभी डेकेयर में लड़कियों का अनुपात 55% है, तो लड़कों के प्रतिशत की गणना केवल 1 माइनस 0.55 घटाकर की जाती है:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

अब जब हम सभी संभावनाओं को जानते हैं, तो हम सभी संभावनाओं की संभावनाओं के साथ पेड़ बना सकते हैं:

इस मामले में, घटनाएँ स्वतंत्र हैं, क्योंकि लड़का या लड़की होने की संभावना चुने गए डेकेयर पर निर्भर नहीं करती है। तो, डेकेयर बी से एक लड़की को बेतरतीब ढंग से चुनने की संभावना खोजने के लिए, आपको एक लड़की को चुनने की संभावना से डेकेयर बी को चुनने की संभावना को गुणा करना होगा:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

दूसरी ओर, किसी भी डेकेयर में एक लड़के के चयन की संभावना निर्धारित करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक डेकेयर के लिए एक लड़के के चयन की संभावना की गणना करनी होगी, फिर उन्हें एक साथ जोड़ना होगा:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

व्यायाम 2

एक देश में 25 कंपनियों के वित्तीय वर्ष का अध्ययन किया गया और वर्ष के आर्थिक परिणाम के आधार पर उनके स्टॉक की कीमतें कैसे बदलती हैं। आप एकत्रित डेटा को निम्नलिखित आकस्मिकता तालिका में देख सकते हैं:

इसकी कितनी संभावना है कि कोई कंपनी लाभ कमाएगी और उसके शेयर की कीमत में भी वृद्धि होगी?

समाधान देखें

इस मामले में, घटनाएँ निर्भर हैं क्योंकि स्टॉक के ऊपर या नीचे जाने की संभावना आर्थिक परिणाम पर निर्भर करती है। इसलिए, हमें आश्रित घटनाओं के लिए गुणन नियम सूत्र लागू करने की आवश्यकता है:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

इसलिए हम सबसे पहले इस संभावना की गणना करते हैं कि कोई कंपनी लाभ कमाएगी और दूसरी बात, इस संभावना की गणना करती है कि आर्थिक लाभ कमाने पर कंपनी के शेयर बढ़ेंगे:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

इसके बाद, हम परिकलित मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और संयुक्त संभाव्यता की गणना करते हैं:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने