घटनाओं के मिलन की संभावना

इस लेख में हम बताते हैं कि घटनाओं की संघ संभाव्यता की गणना कैसे करें। तो आपको पता चल जाएगा कि घटनाओं के मिलन की संभावना का सूत्र क्या है और इसके अलावा, चरण दर चरण हल किए गए अभ्यास भी।

घटनाओं का मिलन क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत में, घटनाओं का संघ एक घटना ऑपरेशन है जिसका परिणाम ऑपरेशन के सेट की सभी प्रारंभिक घटनाओं से बना होता है। दूसरे शब्दों में, दो घटनाओं ए और बी का मिलन उन घटनाओं का समूह है जो ए, बी या दोनों में पाए जाते हैं।

दो घटनाओं के मिलन को प्रतीक ⋃ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस प्रकार, घटनाओं A और B के मिलन को A⋃B लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाने के यादृच्छिक प्रयोग में, यदि एक घटना एक विषम संख्या A={1, 3, 5} फेंकती है और दूसरी घटना तीन से कम संख्या B={1, 2} फेंकती है, तो दोनों का मिलन घटनाएँ A⋃B={1, 2, 3, 5} हैं।

घटनाओं के मिलन की संभाव्यता का सूत्र

दो घटनाओं के मिलन की प्रायिकता पहली घटना की प्रायिकता और दूसरी घटना की प्रायिकता को घटाकर दो घटनाओं के मिलने की प्रायिकता के बराबर होती है।

दूसरे शब्दों में, दो घटनाओं के मिलन की संभावना का सूत्र P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B) है।

सोना:

• 

  घटना A और घटना B के मिलन की प्रायिकता है.

• 

  संभावना है कि घटना A घटित होगी।

• 

  संभावना है कि घटना बी घटित होगी।

• 

  घटना ए और घटना बी के प्रतिच्छेदन की संभावना है।

हालाँकि, यदि दो घटनाएँ असंगत हैं, तो दोनों घटनाओं के बीच प्रतिच्छेदन शून्य है। इसलिए, दो असंगत घटनाओं के मिलन की संभावना की गणना प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को जोड़कर की जाती है।

घटनाओं के मिलन की संभाव्यता के हल किये गये उदाहरण

ताकि आप देख सकें कि दो घटनाओं के मिलन की संभावना की गणना कैसे की जाती है, हम आपको चरण दर चरण हल किए गए दो उदाहरण नीचे छोड़ते हैं। हम पहले दो असंगत घटनाओं के मिलन की संभावना का पता लगाएंगे, फिर दो संगत घटनाओं की, क्योंकि गणना थोड़ी अलग है।

दो असंगत घटनाओं के मिलन की संभावना

• हमने एक डिब्बे में 10 नीली गेंदें, 6 नारंगी गेंदें और 4 हरी गेंदें रखीं। नीली या नारंगी गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

यह अभ्यास हमें इस या उस घटना के घटित होने की संभावना निर्धारित करने के लिए कहता है। इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हमें दो घटनाओं के मिलन के सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

इसलिए, हम पहले लाप्लास नियम सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना की गणना करते हैं:

हालाँकि, इस मामले में, दोनों घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं, क्योंकि वे दो असंगत घटनाएँ हैं। इसलिए यदि हम नीली गेंद खींचते हैं तो हम नारंगी रंग की गेंद नहीं खींच सकते, और इसके विपरीत।

इसलिए, दोनों घटनाओं की संयुक्त संभावना शून्य है और इसलिए सूत्र सरल है:

तो नीली गेंद या नारंगी गेंद को पकड़ने की संभावना की गणना इस प्रकार है:

संक्षेप में, बॉक्स से नीली या नारंगी गेंद निकालने की संभावना 80% है।

दो संगत घटनाओं के मिलन की संभावना

• यदि हम एक सिक्के को दो बार उछालते हैं, तो कम से कम एक उछाल पर चित आने की प्रायिकता क्या है?

इस मामले में, घटनाएँ संगत हैं, क्योंकि हम पहले थ्रो पर “हेड्स” और दूसरे थ्रो पर “टेल्स” प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए, घटनाओं के मिलन की संभावना की गणना करने का सूत्र सरल नहीं है और इस प्रकार है:

इसलिए, हमें सबसे पहले लाप्लास के नियम को लागू करके सिक्का उछालने पर “हेड्स” मिलने की संभावना की गणना करने की आवश्यकता है:

आइए अब गुणन नियम सूत्र का उपयोग करके दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना करें:

अंत में, दो उछालों में से कम से कम एक में सिर गिरने की संभावना जानने के लिए, बस मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

निष्कर्षतः, यह संभावना कि जब आप एक सिक्के को दो बार उछालेंगे तो वह कम से कम एक बार चित आएगा, 75% है।

इवेंट यूनियनों के गुण

संभाव्यता सिद्धांत में, घटनाओं के मिलन की कार्यप्रणाली निम्नलिखित गुणों से मिलती है:

• क्रमविनिमेय संपत्ति: संघ में घटनाओं का क्रम ऑपरेशन के परिणाम को संशोधित नहीं करता है।

• साहचर्य गुण: तीन घटनाओं के मिलन की गणना किसी भी क्रम में की जा सकती है, क्योंकि परिणाम समान होता है।

• वितरणात्मक संपत्ति: घटनाओं के मिलन से घटनाओं के प्रतिच्छेदन के साथ वितरणात्मक संपत्ति का एहसास होता है।