किसी भी टी परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की गणना कैसे करें

आँकड़ों में, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले तीन टी-परीक्षण हैं:

एक-नमूना टी-परीक्षण : जनसंख्या माध्य की एक निश्चित मान से तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दो-नमूना टी-परीक्षण : दो जनसंख्या साधनों की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

युग्मित नमूने टी-परीक्षण : दो आबादी के माध्यों की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है जब एक नमूने में प्रत्येक अवलोकन को दूसरे नमूने में एक अवलोकन के साथ जोड़ा जा सकता है।

प्रत्येक टी-परीक्षण चलाते समय, आपको एक परीक्षण आँकड़ा और स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री की गणना करने की आवश्यकता होगी।

यहां प्रत्येक प्रकार के परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने का तरीका बताया गया है:

एक-नमूना टी-परीक्षण: डीएफ = एन-1 जहां एन अवलोकनों की कुल संख्या है।

दो-नमूना टी-परीक्षण: डीएफ = एन ₁ + एन ₂ – 2 जहां एन ₁ , एन ₂ प्रत्येक नमूने के कुल अवलोकन हैं।

युग्मित नमूने t-परीक्षण: n-1 जहां n युग्मों की कुल संख्या है।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि व्यवहार में प्रत्येक प्रकार के टी-परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की गणना कैसे करें।

उदाहरण 1: एक-नमूना टी-परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री

मान लीजिए हम जानना चाहते हैं कि कछुए की एक विशेष प्रजाति का औसत वजन 310 पाउंड के बराबर है या नहीं।

मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ कछुओं का एक यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना आकार n = 40
• औसत नमूना वजन x = 300
• नमूना मानक विचलन s = 18.5

हम निम्नलिखित परिकल्पनाओं के साथ एक-नमूना टी-परीक्षण करेंगे:

• एच ₀ : μ = 310 (जनसंख्या का औसत 310 पुस्तकों के बराबर है)
• एच _ए : μ ≠ 310 (जनसंख्या माध्य 310 पाउंड के बराबर नहीं है)

सबसे पहले, हम परीक्षण आँकड़े की गणना करेंगे:

टी = ( एक्स – μ) / (एस/ √एन ) = (300-310) / (18.5/ √40 ) = -3.4187

आगे, हम स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करेंगे:

डीएफ = एन -1 = 40 – 1 = 39

अंत में, हम यह पता लगाने के लिए परीक्षण आंकड़ों और स्वतंत्रता की डिग्री को पी-वैल्यू टी-स्कोर कैलकुलेटर में प्लग करेंगे कि पी-वैल्यू 0.00149 है।

चूँकि यह p-मान हमारे महत्व स्तर α = 0.05 से नीचे है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। हमारे पास यह कहने के लिए पर्याप्त सबूत हैं कि इस कछुए की प्रजाति का औसत वजन 310 पाउंड के बराबर नहीं है।

उदाहरण 2: दो-नमूना टी-परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री

मान लीजिए हम जानना चाहते हैं कि कछुओं की दो अलग-अलग प्रजातियों का औसत वजन बराबर है या नहीं।

मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ प्रत्येक आबादी से कछुओं का एक यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

नमूना 1:

• नमूना आकार n ₁ = 40
• औसत नमूना वजन x ₁ = 300
• नमूना मानक विचलन एस ₁ = 18.5

नमूना 2:

• नमूना आकार n ₂ = 38
• औसत नमूना वजन x ₂ = 305
• नमूना मानक विचलन एस ₂ = 16.7

हम निम्नलिखित मान्यताओं के साथ दो-नमूना टी-परीक्षण करेंगे:

• एच ₀ : μ ₁ = μ ₂ (दोनों जनसंख्या माध्य बराबर हैं)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (दो जनसंख्या माध्य बराबर नहीं हैं)

सबसे पहले, हम एकत्रित मानक विचलन _एसपी की गणना करेंगे:

एस _पी = √ (एन ₁ -1)एस ₁ ² + (एन ₂ -1)एस ₂ ² / (एन ₁ +एन ₂ -2) = √ ( 40-1)18.5 ² + (38-1) 16.7 ² / (40+38-2) = 17.647

इसके बाद, हम t -टेस्ट आँकड़ा की गणना करेंगे:

टी = ( एक्स ₁ – एक्स ₂ ) / _एसपी (√ 1/एन ₁ + 1/एन ₂ ) = (300-305) / 17.647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1.2508

आगे, हम स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करेंगे:

डीएफ = एन ₁ + एन ₂ – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

अंत में, हम परीक्षण आंकड़ों और स्वतंत्रता की डिग्री को पी-वैल्यू टी-स्कोर कैलकुलेटर में प्लग करेंगे ताकि पता चल सके कि पी-वैल्यू 0.21484 है।

चूँकि यह p-मान हमारे महत्व स्तर α = 0.05 से कम नहीं है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। हमारे पास यह कहने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं हैं कि इन दोनों आबादी के बीच कछुओं का औसत वजन अलग-अलग है।

उदाहरण 3: युग्मित नमूने टी-परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री

मान लीजिए हम जानना चाहते हैं कि एक निश्चित प्रशिक्षण कार्यक्रम कॉलेज बास्केटबॉल खिलाड़ियों की अधिकतम ऊर्ध्वाधर छलांग (इंच में) बढ़ाने में सक्षम है या नहीं।

इसका परीक्षण करने के लिए, हम 20 कॉलेज बास्केटबॉल खिलाड़ियों का एक सरल यादृच्छिक नमूना भर्ती कर सकते हैं और उनकी प्रत्येक अधिकतम ऊर्ध्वाधर छलांग को माप सकते हैं। फिर हम प्रत्येक खिलाड़ी को एक महीने के लिए प्रशिक्षण कार्यक्रम का उपयोग करने के लिए कह सकते हैं और फिर महीने के अंत में उनकी अधिकतम ऊर्ध्वाधर छलांग को फिर से माप सकते हैं।

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या प्रशिक्षण कार्यक्रम का वास्तव में अधिकतम ऊर्ध्वाधर छलांग पर प्रभाव पड़ा है, हम एक युग्मित नमूने टी-परीक्षण करेंगे।

सबसे पहले, हम अंतरों के लिए निम्नलिखित सारांश डेटा की गणना करेंगे:

• x _अंतर : अंतर का नमूना औसत = -0.95
• s: अंतर का नमूना मानक विचलन = 1.317
• n: नमूना आकार (अर्थात् जोड़ियों की संख्या) = 20

हम निम्नलिखित मान्यताओं के साथ एक युग्मित नमूना टी-परीक्षण करेंगे:

• एच ₀ : μ ₁ = μ ₂ (दोनों जनसंख्या माध्य बराबर हैं)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (दो जनसंख्या माध्य बराबर नहीं हैं)

आगे, हम परीक्षण आँकड़े की गणना करेंगे:

t = x _अंतर / (s _अंतर /√n) = -0.95 / (1.317/√20) = -3.226

आगे, हम स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करेंगे :

डीएफ = एन – 1 = 20 – 1 = 19

टी स्कोर से पी वैल्यू कैलकुलेटर के अनुसार, टी = -3.226 और स्वतंत्रता की डिग्री = एन-1 = 20-1 = 19 से जुड़ा पी मान 0.00445 है।

चूँकि यह p-मान हमारे महत्व स्तर α = 0.05 से नीचे है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। हमारे पास यह कहने के लिए पर्याप्त सबूत हैं कि प्रशिक्षण कार्यक्रम में भाग लेने से पहले और बाद में खिलाड़ियों की औसत अधिकतम ऊर्ध्वाधर छलांग अलग-अलग होती है।

अतिरिक्त संसाधन

आपके द्वारा प्रदान किए गए डेटा के आधार पर स्वचालित रूप से टी-परीक्षण करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर का उपयोग किया जा सकता है:

टी-टेस्ट कैलकुलेटर का एक उदाहरण
दो-नमूना टी-टेस्ट कैलकुलेटर
युग्मित नमूने टी-टेस्ट कैलकुलेटर