त्रुटि की संभावना की व्याख्या कैसे करें: उदाहरणों के साथ

आंकड़ों में, जनसंख्या अनुपात या जनसंख्या माध्य के अनुमान की सटीकता का मूल्यांकन करने के लिए त्रुटि के मार्जिन का उपयोग किया जाता है।

जनसंख्या मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल की गणना करते समय हम आम तौर पर त्रुटि के मार्जिन का उपयोग करते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि जनसंख्या अनुपात और जनसंख्या माध्य के लिए त्रुटि के मार्जिन की गणना और व्याख्या कैसे करें।

उदाहरण 1: जनसंख्या अनुपात के लिए त्रुटि की संभावना की व्याख्या करना

जनसंख्या अनुपात के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

सोना:

• पी: नमूना अनुपात
• z: चुना हुआ z मान
• n: नमूना आकार

समीकरण का वह भाग जो +/- चिह्न के बाद आता है, त्रुटि की संभावना को दर्शाता है:

त्रुटि का मार्जिन = z*(√ p(1-p) / n )

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम किसी काउंटी में उन निवासियों के अनुपात का अनुमान लगाना चाहते हैं जो एक निश्चित कानून का समर्थन करते हैं। हम 100 निवासियों का एक यादृच्छिक नमूना चुनते हैं और उनसे पूछते हैं कि कानून पर उनकी स्थिति क्या है।

यहाँ परिणाम हैं:

• नमूना आकार n = 100
• कानून के पक्ष में अनुपात पी = 0.56

मान लीजिए कि हम कानून का समर्थन करने वाले काउंटी निवासियों के वास्तविक अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करना चाहते हैं।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, हम त्रुटि के मार्जिन की गणना निम्नानुसार करते हैं:

• त्रुटि का मार्जिन = z*(√ p(1-p) / n )
• त्रुटि का मार्जिन = 1.96*(√ .56(1-.56) / 100 )
• त्रुटि का मार्जिन = 0.0973

फिर हम 95% विश्वास अंतराल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

• आत्मविश्वास अंतराल = p +/- z*(√ p(1-p) / n )
• आत्मविश्वास अंतराल = 0.56 +/- 0.0973
• आत्मविश्वास अंतराल = [.4627, .6573]

कानून के पक्ष में काउंटी निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल [.4627, .6573] निकला।

इसका मतलब है कि हम 95% आश्वस्त हैं कि कानून का समर्थन करने वाले निवासियों का वास्तविक अनुपात 46.27% और 65.73% के बीच है।

कानून के पक्ष में नमूना निवासियों का अनुपात 56% था, लेकिन इस नमूना अनुपात में त्रुटि के मार्जिन को घटाकर और जोड़कर, हम एक विश्वास अंतराल का निर्माण करने में सक्षम हैं।

यह विश्वास अंतराल मूल्यों की एक श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें कानून के पक्ष में काउंटी निवासियों के वास्तविक अनुपात को शामिल करने की सबसे अधिक संभावना है।

उदाहरण 2: जनसंख्या माध्य के लिए त्रुटि के मार्जिन की व्याख्या करना

जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = x +/- z*(s/√ n )

सोना:

• x : नमूना का अर्थ है
• z: z-महत्वपूर्ण मान
• एस: नमूना मानक विचलन
• n: नमूना आकार

समीकरण का वह भाग जो +/- चिह्न के बाद आता है, त्रुटि की संभावना को दर्शाता है:

त्रुटि का मार्जिन = z*(s/ √n )

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम डॉल्फ़िन की आबादी के औसत वजन का अनुमान लगाना चाहते हैं। हम निम्नलिखित जानकारी के साथ डॉल्फ़िन का एक यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• नमूना आकार n = 40
• औसत नमूना वजन x = 300
• नमूना मानक विचलन s = 18.5

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, हम त्रुटि के मार्जिन की गणना निम्नानुसार करते हैं:

• त्रुटि का मार्जिन = z*(s/ √n )
• त्रुटि का मार्जिन = 1.96*(18.5/ √40 )
• त्रुटि का मार्जिन = 5.733

फिर हम 95% विश्वास अंतराल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

• आत्मविश्वास अंतराल = x +/- z*(s/√ n )
• आत्मविश्वास अंतराल = 300 +/- 5.733
• आत्मविश्वास अंतराल =[294.267, 305.733]

इस आबादी में डॉल्फ़िन के औसत वजन के लिए 95% विश्वास अंतराल [294.267, 305.733] पाया गया है।

इसका मतलब है कि हम 95% आश्वस्त हैं कि इस आबादी में डॉल्फ़िन का वास्तविक औसत वजन 294,267 पाउंड और 305,733 पाउंड के बीच है।

नमूने में डॉल्फ़िन का औसत वजन 300 पाउंड था, लेकिन इस नमूने में त्रुटि के मार्जिन को घटाकर और जोड़कर, हम एक विश्वास अंतराल का निर्माण करने में सक्षम हैं।

यह आत्मविश्वास अंतराल उन मूल्यों की एक श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है जिनमें इस आबादी में डॉल्फ़िन के वास्तविक औसत वजन को शामिल करने की बहुत संभावना है।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल त्रुटि की संभावना पर अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

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