द्विपद प्रयोग: एक स्पष्टीकरण + उदाहरण

द्विपद प्रयोगों को समझना द्विपद वितरण को समझने का पहला कदम है।

यह ट्यूटोरियल एक द्विपद प्रयोग को परिभाषित करता है और ऐसे प्रयोगों के कई उदाहरण प्रदान करता है जिन्हें द्विपद प्रयोग माना जाता है या नहीं ।

द्विपद प्रयोग: परिभाषा

द्विपद प्रयोग एक ऐसा प्रयोग है जिसमें निम्नलिखित चार गुण होते हैं:

1. प्रयोग में n बार-बार परीक्षण शामिल हैं। संख्या n कोई भी राशि हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्के को 100 बार उछालते हैं, तो n = 100।

2. प्रत्येक परीक्षण के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं। हम अक्सर परिणामों को “सफलता” या “असफलता” कहते हैं, लेकिन “सफलता” उस चीज़ का एक लेबल मात्र है जिस पर हम भरोसा करते हैं। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हम हेड को “हिट” और टेल को “विफलता” कह सकते हैं।

3. प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना, जिसे पी दर्शाया गया है, समान है। किसी प्रयोग को सच्चा द्विपद प्रयोग बनाने के लिए, प्रत्येक परीक्षण के लिए “सफलता” की संभावना समान होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हर बार जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित आने की संभावना (“सफलता”) हमेशा समान होती है।

4. प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है । इसका सीधा मतलब यह है कि एक परीक्षण का परिणाम दूसरे परीक्षण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम एक सिक्का उछालते हैं और वह शीर्ष पर आ जाता है। तथ्य यह है कि यह सिर पर गिरता है, इसकी संभावना नहीं बदलती कि यह अगले थ्रो पर सिर पर गिरता है। प्रत्येक फ्लिप (यानी प्रत्येक “परीक्षण”) स्वतंत्र है।

द्विपद प्रयोगों के उदाहरण

निम्नलिखित सभी प्रयोग द्विपद प्रयोगों के उदाहरण हैं।

उदाहरण 1

एक सिक्के को 10 बार पलटें. यह कितनी बार टेल लैंड करता है इसकी संख्या रिकॉर्ड करें।

यह एक द्विपद प्रयोग है क्योंकि इसमें निम्नलिखित चार गुण हैं:

• प्रयोग में n बार-बार परीक्षण शामिल हैं। इस मामले में, 10 प्रयास हैं।
• प्रत्येक परीक्षण के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं। सिक्का केवल चित या पट पर ही गिर सकता है।
• प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना समान है । यदि हम “सफलता” को आपके सिर पर चढ़ने के रूप में परिभाषित करते हैं, तो प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना बिल्कुल 0.5 है।
• प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है . एक ड्रा का परिणाम किसी अन्य ड्रा के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण #2

एक निष्पक्ष 6-तरफा पासे को 20 बार रोल करें। 2 प्रकट होने की संख्या रिकॉर्ड करें।

यह एक द्विपद प्रयोग है क्योंकि इसमें निम्नलिखित चार गुण हैं:

• प्रयोग में n बार-बार परीक्षण शामिल हैं। इस मामले में 20 मुकदमे हैं.
• प्रत्येक परीक्षण के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं। यदि हम 2 को “सफलता” के रूप में परिभाषित करते हैं, तो हर बार पासा या तो 2 (एक सफलता) या किसी अन्य संख्या (एक विफलता) पर गिरता है।
• प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना समान है । प्रत्येक परीक्षण के लिए, पासा 2 पर गिरने की संभावना 1/6 है। यह संभावना एक परीक्षण से दूसरे परीक्षण में नहीं बदलती।
• प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है . एक डाई रोल का परिणाम अन्य डाई रोल के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण #3

टायलर अपने 70% फ़्री थ्रो प्रयास करता है। मान लीजिए वह 15 प्रयास करता है। उसके द्वारा बनाई गई टोकरियों की संख्या रिकॉर्ड करें।

यह एक द्विपद प्रयोग है क्योंकि इसमें निम्नलिखित चार गुण हैं:

• प्रयोग में n बार-बार परीक्षण शामिल हैं। इस मामले में 15 मुकदमे हैं.
• प्रत्येक परीक्षण के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं। प्रत्येक प्रयास में, टायलर या तो टोकरी बनाता है या चूक जाता है।
• प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना समान है । प्रत्येक प्रयास के लिए, टायलर द्वारा टोकरी बनाने की संभावना 70% है। यह संभावना एक परीक्षण से दूसरे परीक्षण में नहीं बदलती।
• प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है . फ्री थ्रो प्रयास का परिणाम किसी अन्य फ्री थ्रो प्रयास के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

ऐसे उदाहरण जो द्विपद प्रयोग नहीं हैं

उदाहरण 1

100 लोगों से पूछें कि उनकी उम्र कितनी है ।

यह एक द्विपद प्रयोग नहीं है क्योंकि इसके दो से अधिक संभावित परिणाम हैं।

उदाहरण #2

एक निष्पक्ष 6-तरफा पासे को तब तक रोल करें जब तक 5 दिखाई न दे।

यह एक द्विपद प्रयोग नहीं है क्योंकि परीक्षणों की कोई पूर्वनिर्धारित संख्या n नहीं है। हमें कोई अंदाज़ा नहीं है कि 5 आने तक इसमें कितने रोल लगेंगे।

उदाहरण #3

ताश की एक गड्डी से 5 पत्ते निकालें।

यह एक द्विपद प्रयोग नहीं है क्योंकि एक परीक्षण का परिणाम (उदाहरण के लिए डेक से एक निश्चित कार्ड निकालना) बाद के परीक्षणों के परिणाम को प्रभावित करता है।

द्विपद प्रयोग का एक उदाहरण एवं समाधान

निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है कि द्विपद प्रयोग से संबंधित प्रश्न को कैसे हल किया जाए।

आप एक सिक्के को 10 बार उछालते हैं. इसकी क्या प्रायिकता है कि सिक्का ठीक 7 चित पर गिरे?

जब भी हम किसी द्विपद प्रयोग में n सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है:

पी(बिल्कुल के सफलताएँ) = _एन सी _के * पी ^के * (1-पी) ^एनके

सोना:

• n: प्रयासों की संख्या
• k: सफलताओं की संख्या
• सी: “संयोजन” प्रतीक
• पी: किसी दिए गए परीक्षण पर सफलता की संभावना

इन संख्याओं को सूत्र में डालने पर, हमें प्राप्त होता है:

पी(7 शीर्ष) = ₁₀ सी ₇ * 0.5 ⁷ * (1-0.5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0.11719 ।

तो, सिक्के के 7 बार शीर्ष पर आने की संभावना 0.11719 है।