नमूना आकार और त्रुटि की संभावना के बीच संबंध

अक्सर आंकड़ों में हम कुछ जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाना चाहते हैं, जैसे जनसंख्या अनुपात या जनसंख्या माध्य ।

इन मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए, हम आम तौर पर एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं और नमूना अनुपात या नमूना माध्य की गणना करते हैं।

फिर हम इन अनुमानों के आसपास अपनी अनिश्चितता को पकड़ने के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करते हैं।

जनसंख्या अनुपात के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = p ± z*√ p(1-p) / n

सोना:

• पी: नमूना अनुपात
• z: चुना हुआ z मान
• n: नमूना आकार

और हम जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = x̄ ± z*(s/√ n )

सोना:

• x̄: नमूना माध्य
• z: चुना हुआ z मान
• s : नमूना मानक विचलन
• n: नमूना आकार

दोनों सूत्रों में, नमूना आकार और त्रुटि के मार्जिन के बीच एक विपरीत संबंध है।

नमूना आकार जितना बड़ा होगा, त्रुटि की संभावना उतनी ही कम होगी। इसके विपरीत, नमूना आकार जितना छोटा होगा, त्रुटि की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए निम्नलिखित दो उदाहरण देखें।

उदाहरण 1: जनसंख्या अनुपात के लिए नमूना आकार और त्रुटि का मार्जिन

जनसंख्या अनुपात के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = p ± z*√ p(1-p) / n

लाल भाग को त्रुटि का मार्जिन कहा जाता है:

आत्मविश्वास अंतराल = p ± z*√ p(1-p) / n

ध्यान दें कि त्रुटि की गुंजाइश के भीतर हम n (नमूना आकार) से विभाजित करते हैं।

इसलिए जब नमूना आकार बड़ा होता है, तो हम बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं, जिससे त्रुटि की कुल संभावना कम हो जाती है। इससे आत्मविश्वास का अंतराल कम हो जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ डेटा का एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• पी: 0.6
• एन: 25

यहां जनसंख्या अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करने का तरीका बताया गया है:

• आत्मविश्वास अंतराल = p ± z*√ p(1-p) / n
• आत्मविश्वास अंतराल = 0.6 ± 1.96*√ 0.6(1-0.6) / 25
• आत्मविश्वास अंतराल = 0.6 ± 0.192
• आत्मविश्वास अंतराल = [.408, .792]

अब विचार करें कि क्या हमने इसके बजाय 200 के नमूना आकार का उपयोग किया है। यहां बताया गया है कि हम जनसंख्या अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना कैसे करेंगे:

• आत्मविश्वास अंतराल = p ± z*√ p(1-p) / n
• आत्मविश्वास अंतराल = 0.6 ± 1.96*√ 0.6(1-0.6) / 200
• आत्मविश्वास अंतराल = 0.6 ± 0.068
• आत्मविश्वास अंतराल = [.532, .668]

ध्यान दें कि केवल नमूना आकार बढ़ाकर, हम त्रुटि के मार्जिन को कम करने और बहुत संकीर्ण आत्मविश्वास अंतराल उत्पन्न करने में सक्षम थे।

उदाहरण 2: जनसंख्या औसत के लिए नमूना आकार और त्रुटि का मार्जिन

जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

आत्मविश्वास अंतराल = x̄ ± z*(s/√ n )

लाल भाग को त्रुटि का मार्जिन कहा जाता है:

आत्मविश्वास अंतराल = x̄ ± z*(s/√ n )

ध्यान दें कि त्रुटि की गुंजाइश के भीतर हम n (नमूना आकार) से विभाजित करते हैं।

इसलिए जब नमूना आकार बड़ा होता है, तो हम बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं, जिससे त्रुटि की कुल संभावना कम हो जाती है। इससे आत्मविश्वास का अंतराल कम हो जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम निम्नलिखित जानकारी के साथ डेटा का एक सरल यादृच्छिक नमूना एकत्र करते हैं:

• x̄: 15
• s : 4
• एन: 25

यहां जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करने का तरीका बताया गया है:

• आत्मविश्वास अंतराल = x̄ ± z*(s/√ n )
• आत्मविश्वास अंतराल = 15 ± 1.96*(4/√ 25 )
• आत्मविश्वास अंतराल = 15 ± 1.568
• आत्मविश्वास अंतराल = [13.432, 16.568]

अब विचार करें कि क्या हमने इसके बजाय 200 के नमूना आकार का उपयोग किया है। यहां बताया गया है कि हम जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना कैसे करेंगे:

• आत्मविश्वास अंतराल = x̄ ± z*(s/√ n )
• आत्मविश्वास अंतराल = 15 ± 1.96*(4/√ 200 )
• कॉन्फिडेंस अंतराल = 15 ± 0.554
• आत्मविश्वास अंतराल = [14.446, 15.554]

ध्यान दें कि केवल नमूना आकार बढ़ाकर, हम त्रुटि के मार्जिन को कम करने और एक संकीर्ण आत्मविश्वास अंतराल उत्पन्न करने में सक्षम थे।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल किसी अनुपात के लिए विश्वास अंतराल के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

• किसी अनुपात के लिए आत्मविश्वास अंतराल का परिचय
• अनुपात कैलकुलेटर के लिए विश्वास अंतराल

निम्नलिखित ट्यूटोरियल किसी माध्य के लिए विश्वास अंतराल के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

• माध्य के लिए आत्मविश्वास अंतराल का परिचय
• औसत कैलकुलेटर के लिए विश्वास अंतराल