परिकल्पना विरोधाभास

द्वारा अगस्त 3, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सांख्यिकी में परिकल्पना परीक्षण क्या है। तो, आप सीखेंगे कि परिकल्पना परीक्षण कैसे किया जाता है, परिकल्पना परीक्षण के विभिन्न प्रकार और परिकल्पना परीक्षण करते समय होने वाली संभावित गलतियाँ।

परिकल्पना परीक्षण क्या है?

परिकल्पना परीक्षण एक ऐसी प्रक्रिया है जिसका उपयोग सांख्यिकीय परिकल्पना को अस्वीकार या अस्वीकृत करने के लिए किया जाता है। एक परिकल्पना परीक्षण में, हम यह निर्णय लेते हैं कि जनसंख्या पैरामीटर का मान उक्त जनसंख्या के नमूने में देखी गई बातों के अनुकूल है या नहीं।

अर्थात्, एक परिकल्पना परीक्षण में, एक सांख्यिकीय नमूने का विश्लेषण किया जाता है और प्राप्त परिणामों के आधार पर, यह निर्धारित किया जाता है कि पहले से स्थापित परिकल्पना को अस्वीकार करना है या स्वीकार करना है।

ध्यान रखें कि सामान्य तौर पर, परिकल्पना परीक्षण से, कोई भी पूर्ण निश्चितता के साथ यह अनुमान नहीं लगा सकता है कि एक परिकल्पना सत्य या गलत है, लेकिन एक परिकल्पना केवल प्राप्त परिणामों के आधार पर खारिज कर दी जाती है या नहीं। इसलिए, किसी परिकल्पना का परीक्षण करते समय, एक त्रुटि तब भी हो सकती है, भले ही सांख्यिकीय साक्ष्य हो कि लिया गया निर्णय सबसे अधिक संभावित है।

सांख्यिकी में, एक परिकल्पना परीक्षण को परिकल्पना परीक्षण , परिकल्पना परीक्षण या महत्व परीक्षण भी कहा जाता है।

परिकल्पना परीक्षण का सिद्धांत अंग्रेजी सांख्यिकीविद् रोनाल्ड फिशर द्वारा स्थापित किया गया था और इसे आगे जेरज़ी नेमैन और एगॉन पियर्सन द्वारा विकसित किया गया था।

शून्य परिकल्पना और वैकल्पिक परिकल्पना

एक परिकल्पना परीक्षण दो प्रकार की सांख्यिकीय परिकल्पनाओं से बना होता है:

  • शून्य परिकल्पना (H 0 ) : यह वह परिकल्पना है जो यह बताती है कि जनसंख्या पैरामीटर के संबंध में हमारी प्रारंभिक परिकल्पना झूठी है। इसलिए शून्य परिकल्पना वह परिकल्पना है जिसे हम अस्वीकार करना चाहते हैं।
  • वैकल्पिक परिकल्पना (एच 1 ) : वह शोध परिकल्पना है जिसकी सत्यता सिद्ध मानी जाती है। अर्थात्, वैकल्पिक परिकल्पना शोधकर्ता की पूर्व परिकल्पना है और यह साबित करने की कोशिश करने के लिए कि यह सत्य है, विपरीत परिकल्पना को अंजाम दिया जाएगा।

व्यवहार में, वैकल्पिक परिकल्पना शून्य परिकल्पना से पहले तैयार की जाती है, क्योंकि यह वह परिकल्पना है जिसका उद्देश्य डेटा के नमूने के सांख्यिकीय विश्लेषण द्वारा पुष्टि करना है। फिर वैकल्पिक परिकल्पना का खंडन करके शून्य परिकल्पना तैयार की जाती है।

परिकल्पना परीक्षण के प्रकार

परिकल्पना परीक्षण को दो अलग-अलग प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

  • दो-पुच्छ परिकल्पना परीक्षण (या दो-पुच्छ परिकल्पना परीक्षण) : परिकल्पना परीक्षण की वैकल्पिक परिकल्पना बताती है कि जनसंख्या पैरामीटर एक विशिष्ट मान से “अलग” है।
  • एक-पुच्छ परिकल्पना परीक्षण (या एक-पुच्छ परिकल्पना परीक्षण) : परिकल्पना परीक्षण की वैकल्पिक परिकल्पना इंगित करती है कि जनसंख्या पैरामीटर एक विशिष्ट मान से “अधिक” (दाहिनी पूँछ) या “कम” (बाएँ पूँछ) है।

दो-पुच्छीय परिकल्पना परीक्षण

\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}

एक-पूंछ परिकल्पना परीक्षण (दाहिनी पूँछ)

\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”102″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> </div> <div class=

एक-पूंछ परिकल्पना परीक्षण (बाएं पूंछ)

\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}

परिकल्पना परीक्षण का अस्वीकृति क्षेत्र और स्वीकृति क्षेत्र

जैसा कि हम नीचे विस्तार से देखेंगे, परिकल्पना परीक्षण में प्रत्येक प्रकार की परिकल्पना परीक्षण के एक विशिष्ट मूल्य की गणना होती है, इस मूल्य को परिकल्पना परीक्षण आँकड़े कहा जाता है। इस प्रकार, एक बार कंट्रास्ट आंकड़े की गणना हो जाने के बाद, किसी निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए यह देखना आवश्यक है कि यह निम्नलिखित दो क्षेत्रों में से किस क्षेत्र में स्थित है:

  • अस्वीकृति क्षेत्र (या महत्वपूर्ण क्षेत्र) : यह परिकल्पना परीक्षण संदर्भ वितरण के ग्राफ का क्षेत्र है जिसमें शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना (और वैकल्पिक परिकल्पना को स्वीकार करना) शामिल है।
  • स्वीकृति क्षेत्र : यह परिकल्पना परीक्षण संदर्भ वितरण के ग्राफ का क्षेत्र है जिसका तात्पर्य शून्य परिकल्पना की स्वीकृति (और वैकल्पिक परिकल्पना की अस्वीकृति) से है।

संक्षेप में, यदि परीक्षण आँकड़ा अस्वीकृति क्षेत्र में आता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है और वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है। इसके विपरीत, यदि परीक्षण आँकड़ा स्वीकृति क्षेत्र के अंतर्गत आता है, तो शून्य परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है और वैकल्पिक परिकल्पना अस्वीकार कर दी जाती है।

परिकल्पना विरोधाभास

वे मान जो अस्वीकृति क्षेत्र और स्वीकृति क्षेत्र की सीमाएँ स्थापित करते हैं, महत्वपूर्ण मान कहलाते हैं, इसी प्रकार, मानों का अंतराल जो अस्वीकृति क्षेत्र को परिभाषित करता है, आत्मविश्वास अंतराल कहलाता है। और दोनों मान चुने गए महत्व स्तर पर निर्भर करते हैं।

दूसरी ओर, शून्य परिकल्पना को अस्वीकार या स्वीकार करने का निर्णय परिकल्पना परीक्षण से प्राप्त पी-मूल्य (या पी-मूल्य) की चुने हुए महत्व स्तर के साथ तुलना करके भी किया जा सकता है।

परिकल्पना परीक्षण कैसे करें

परिकल्पना परीक्षण करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाना चाहिए:

  1. परिकल्पना परीक्षण की शून्य परिकल्पना एवं वैकल्पिक परिकल्पना बताएं।
  2. वांछित अल्फ़ा (α) महत्व स्तर स्थापित करें।
  3. परिकल्पना कंट्रास्ट आँकड़े की गणना करें।
  4. परिकल्पना परीक्षण के अस्वीकृति क्षेत्र और स्वीकृति क्षेत्र को जानने के लिए परिकल्पना परीक्षण के महत्वपूर्ण मूल्यों को निर्धारित करता है।
  5. देखें कि क्या परिकल्पना विपरीत आँकड़ा अस्वीकृति क्षेत्र या स्वीकृति क्षेत्र में है।
  6. यदि आँकड़ा अस्वीकृति क्षेत्र में आता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है (और वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है)। लेकिन यदि आँकड़ा स्वीकृति क्षेत्र के अंतर्गत आता है, तो शून्य परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है (और वैकल्पिक परिकल्पना अस्वीकार कर दी जाती है)।

परिकल्पना परीक्षण त्रुटियाँ

परिकल्पना परीक्षण में, एक परिकल्पना को अस्वीकार करते समय और दूसरी परीक्षण परिकल्पना को स्वीकार करते समय, दो त्रुटियों में से एक हो सकती है:

  • प्रकार I त्रुटि : यह वह त्रुटि है जो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते समय की जाती है जबकि यह वास्तव में सत्य है।
  • टाइप II त्रुटि : यह वह त्रुटि है जो शून्य परिकल्पना को स्वीकार करते समय की जाती है जबकि यह वास्तव में गलत होती है।
टाइप I त्रुटि और टाइप II त्रुटि

दूसरी ओर, प्रत्येक प्रकार की त्रुटि होने की संभावना को इस प्रकार कहा जाता है:

  • अल्फ़ा प्रायिकता (α) : प्रकार I त्रुटि करने की प्रायिकता है।
  • बीटा प्रायिकता (β) : प्रकार II त्रुटि होने की प्रायिकता है।

इसी प्रकार, परिकल्पना परीक्षण की शक्ति को शून्य परिकल्पना (एच 0 ) को अस्वीकार करने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है जब यह गलत है, या दूसरे शब्दों में, यह सत्य होने पर वैकल्पिक परिकल्पना (एच 1 ) को चुनने की संभावना है। इसलिए परिकल्पना परीक्षण की शक्ति 1-बीटा के बराबर है।

परिकल्पना परीक्षण सांख्यिकी

एक परिकल्पना परीक्षण का आँकड़ा परिकल्पना परीक्षण संदर्भ वितरण का मूल्य है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि शून्य परिकल्पना खारिज कर दी गई है या नहीं। यदि परीक्षण आँकड़ा अस्वीकृति क्षेत्र में आता है, तो शून्य परिकल्पना अस्वीकार कर दी जाती है (और वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है), दूसरी ओर, यदि परीक्षण आँकड़ा स्वीकृति क्षेत्र में आता है, तो शून्य परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है (और वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है) अस्वीकृत).वैकल्पिक परिकल्पना).

परिकल्पना परीक्षण आँकड़ों की गणना परीक्षण के प्रकार पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक प्रकार की परिकल्पना परीक्षण के लिए आंकड़ों की गणना करने का सूत्र नीचे दिखाया गया है।

माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण

ज्ञात विचरण वाले माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा का सूत्र है:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

सोना:

  • Z

    माध्य के लिए परिकल्पना विपरीत आँकड़ा है।

  • \overline{x}

    नमूना साधन है.

  • \mu

    प्रस्तावित औसत मूल्य है.

  • \sigma

    जनसंख्या मानक विचलन है.

  • n

    नमूना आकार है.

एक बार जब माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा की गणना की जाती है, तो परिणाम की व्याख्या शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए की जानी चाहिए या नहीं:

  • यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण दोतरफा है, तो यदि सांख्यिकी का निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण मान Z α/2 से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।
  • यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण सही पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान Z α से अधिक है।
  • यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण बाईं पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान -Z α से कम है।

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

इस मामले में, महत्वपूर्ण मान मानकीकृत सामान्य वितरण तालिका से प्राप्त किए जाते हैं।

दूसरी ओर, अज्ञात विचरण वाले माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा का सूत्र है:

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

सोना:

  • t

    माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है, जिसे छात्र के टी वितरण द्वारा परिभाषित किया गया है।

  • \overline{x}

    नमूना साधन है.

  • \mu

    प्रस्तावित औसत मूल्य है.

  • s

    नमूना मानक विचलन है.

  • n

    नमूना आकार है.

पहले की तरह, परीक्षण आँकड़ों के परिकलित परिणाम की व्याख्या शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने या न करने के लिए महत्वपूर्ण मूल्य के साथ की जानी चाहिए:

  • यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण दोतरफा है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि सांख्यिकी का निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण मान t α/2|n-1 से अधिक है।
  • यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण सही पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान t α|n-1 से अधिक है।
  • यदि माध्य के लिए परिकल्पना परीक्षण बाईं पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान -t α|n-1 से कम है।

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

जब विचरण अज्ञात होता है, तो महत्वपूर्ण परीक्षण मान छात्र की वितरण तालिका से प्राप्त किए जाते हैं।

अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण

अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा का सूत्र है:

\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}

सोना:

  • Z

    अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है।

  • \widehat{p}

    नमूना अनुपात है.

  • p

    प्रस्तावित अनुपात मान है.

  • n

    नमूना आकार है.

  • \displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

    अनुपात का मानक विचलन है.

ध्यान रखें कि अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण आंकड़ों की गणना करना पर्याप्त नहीं है, बल्कि परिणाम की व्याख्या की जानी चाहिए:

  • यदि अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण दोतरफा है, तो यदि सांख्यिकी का पूर्ण मान महत्वपूर्ण मान Z α/2 से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।
  • यदि अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण सही पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान Z α से अधिक है।
  • यदि अनुपात के लिए परिकल्पना परीक्षण बाईं पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान -Z α से कम है।

\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

याद रखें कि मानक सामान्य वितरण तालिका से महत्वपूर्ण मान आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं।

भिन्नता के लिए परिकल्पना परीक्षण

विचरण के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा की गणना करने का सूत्र है:

\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}

सोना:

  • \chi^2

    विचरण के लिए परिकल्पना परीक्षण आँकड़ा है, जिसमें काई-स्क्वायर वितरण होता है।

  • n

    नमूना आकार है.

  • s^2

    नमूना विचरण है.

  • \sigma^2

    प्रस्तावित जनसंख्या का विचरण है।

आंकड़ों के परिणाम की व्याख्या करने के लिए, प्राप्त मूल्य की तुलना परीक्षण के महत्वपूर्ण मूल्य से की जानी चाहिए।

  • यदि विचरण के लिए परिकल्पना परीक्षण दो-पुच्छीय है, तो यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मान से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।

    \chi_{1-\alpha/2|n-1}^2

    या यदि क्रांतिक मान इससे कम है

    \chi_{\alpha/2|n-1}

    .

  • यदि विचरण के लिए परिकल्पना परीक्षण सही पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है

    \chi_{1-\alpha|n-1}^2

    .

  • यदि विचरण के लिए परिकल्पना परीक्षण बाईं पूंछ से मेल खाता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है यदि आँकड़ा महत्वपूर्ण मूल्य से कम है

    \chi_{\alpha|n-1}

    .

\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}

विचरण के लिए महत्वपूर्ण परिकल्पना परीक्षण मान ची-स्क्वायर वितरण तालिका से प्राप्त किए जाते हैं। ध्यान दें कि ची-स्क्वायर वितरण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री नमूना आकार शून्य से 1 है।

लेखक के बारे में

Benjamin Anderson
डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

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