पैरामीटर अनुमान

यह आलेख बताता है कि सांख्यिकी में पैरामीटर अनुमान क्या है। इस प्रकार, आप जानेंगे कि आंकड़ों में एक पैरामीटर का अनुमान कैसे लगाया जाता है, विभिन्न प्रकार के अनुमान और पैरामीटर अनुमान के उदाहरण।

पैरामीटर अनुमान क्या है?

पैरामीटर अनुमान एक नमूने से जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए एक सांख्यिकीय विधि है। अर्थात्, आंकड़ों में, पैरामीटर अनुमान का उपयोग डेटा नमूनों के साथ गणना करके जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

सामान्य तौर पर, किसी जनसंख्या के पैरामीटर ज्ञात नहीं होते हैं और यह आम तौर पर अपने सभी व्यक्तियों का अध्ययन करने के लिए बहुत बड़ी होती है। इस प्रकार, जनसंख्या का एक नमूना लिया जाता है, इस नमूने का सांख्यिकीय विश्लेषण किया जाता है और अंत में, प्राप्त परिणाम पूरी जनसंख्या से निकाले जाते हैं। इस प्रकार, सांख्यिकीय मापदंडों का अनुमान हमें जनसंख्या मापदंडों के मूल्यों का अनुमानित अंदाजा लगाने की अनुमति देता है।

किसी पैरामीटर का अनुमान लगाते समय, त्रुटि की संभावना हमेशा बनी रहती है। चूँकि जनसंख्या पैरामीटर का वास्तविक मान आमतौर पर अज्ञात होता है, किसी पैरामीटर का अनुमान लगाते समय, एक अनुमान लगाया जाता है और इसलिए, वास्तविक मान और अनुमानित मान के बीच विसंगति हो सकती है।

पैरामीटर अनुमान के प्रकार

सांख्यिकी में, पैरामीटर अनुमान दो प्रकार के होते हैं:

• विशिष्ट पैरामीटर अनुमान : इसमें एक विशिष्ट मान के लिए जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाना शामिल है। आमतौर पर, नमूना पैरामीटर मान का उपयोग जनसंख्या पैरामीटर के अनुमान के रूप में किया जाता है।
• अंतराल द्वारा मापदंडों का अनुमान : यह एक अंतराल के साथ जनसंख्या पैरामीटर के अनुमान पर आधारित है। इसलिए, जनसंख्या पैरामीटर को एक मान पर अनुमानित करने के बजाय, यह मानों की एक श्रृंखला का अनुमान लगाता है।

बिंदु अनुमान अंतराल अनुमान की तुलना में अधिक सटीक है क्योंकि यह सन्निकटन को एकल मान तक कम कर देता है। हालाँकि, अंतराल अनुमान अधिक विश्वसनीय है क्योंकि पैरामीटर का वास्तविक मान एक बिंदु अनुमान का उपयोग करके इसके सटीक मान को निर्धारित करने की तुलना में एक अंतराल के भीतर होने की अधिक संभावना है।

बिंदु लागत

बिंदु अनुमान में नमूना डेटा से जनसंख्या पैरामीटर के सटीक मूल्य का अनुमान लगाना शामिल है। अर्थात्, बिंदु अनुमान संदर्भ के रूप में पैरामीटर के नमूना मान का उपयोग करके जनसंख्या पैरामीटर का एक विशिष्ट मान प्रदान करता है।

उदाहरण के लिए, 1,000 व्यक्तियों की जनसंख्या का माध्य निर्धारित करने के लिए, हम एक बिंदु अनुमान लगा सकते हैं और 50 लोगों के नमूने के माध्य के मूल्य की गणना कर सकते हैं। इसलिए हम नमूना माध्य के मान को जनसंख्या माध्य के एक बिंदु अनुमान के रूप में ले सकते हैं।

इस प्रकार, एक अनुमानक एक नमूना आँकड़ा है जिसका उपयोग जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार, नमूना पैरामीटर के मूल्य को जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान माना जाता है।

अनुमान अंतराल

अंतराल अनुमान में एक अंतराल का उपयोग करके जनसंख्या पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाना शामिल है। अधिक सटीक रूप से, अंतराल अनुमान में उस अंतराल की गणना करना शामिल है जिसमें पैरामीटर मान एक निश्चित स्तर के विश्वास के साथ गिरने की सबसे अधिक संभावना है।

उदाहरण के लिए, यदि एक अंतराल अनुमान में हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि जनसंख्या माध्य के लिए आत्मविश्वास अंतराल 95% के आत्मविश्वास स्तर के साथ (3.7) है, तो इसका मतलब है कि अध्ययन की गई जनसंख्या का माध्य 95 की संभावना के साथ 3 और 7 के बीच होगा। %.

वह अंतराल जो अंतराल अनुमान प्रदान करता है उसे विश्वास अंतराल कहा जाता है। इस प्रकार, आत्मविश्वास अंतराल एक अंतराल है जो त्रुटि के मार्जिन के साथ उन मानों का अनुमान देता है जिनके बीच जनसंख्या पैरामीटर का मान निहित है। संक्षेप में, विश्वास अंतराल एक अंतराल अनुमान से प्राप्त परिणाम है। किसी अंतराल अनुमान के विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए, संबंधित सूत्र को लागू किया जाना चाहिए:

एक पैरामीटर का अनुमान लगाने का उदाहरण

एक बार जब हमने पैरामीटर अनुमान की परिभाषा देख ली है और विभिन्न प्रकार के पैरामीटर अनुमान क्या हैं, तो हम एक उदाहरण देखेंगे कि जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान कैसे लगाया जा सकता है।

• बाज़ार अनुसंधान में, हम हेडफ़ोन की औसत कीमत निर्धारित करना चाहते हैं। हालाँकि, इतने सारे मॉडल हैं कि उन सभी की कीमत का अध्ययन करना संभव नहीं है, इसलिए पिछले साल सबसे अधिक हेडफ़ोन बेचने वाले पांच ब्रांडों का एक नमूना लेने का निर्णय लिया गया है (डेटा नीचे प्रस्तुत किया गया है)। जनसंख्या की औसत कीमत का अनुमान कभी-कभी और अंतराल पर लगाया जाता है।

25 8 14 19 12

जनसंख्या माध्य का सटीक अनुमान लगाने के लिए, बस नमूना डेटा के माध्य की गणना करें। इसलिए, हम माध्य अंकगणितीय सूत्र लागू करते हैं:

हालाँकि, हम 95% के आत्मविश्वास स्तर के साथ अंतराल पर अनुमान लगाएंगे, क्योंकि यह सबसे आम आत्मविश्वास स्तर है। इस प्रकार, अंतराल अनुमान लगाने के लिए माध्य के लिए विश्वास अंतराल के सूत्र को लागू करना आवश्यक है:

अनुमान त्रुटि

व्यवहार में, किसी पैरामीटर के वास्तविक मान का सटीक अनुमान लगाना बहुत कठिन होता है, यही कारण है कि अनुमान में अक्सर त्रुटि होती है। तार्किक रूप से, हमें अनुमान त्रुटि को कम करने का प्रयास करना चाहिए।

इस प्रकार, यदि हम जनसंख्या पैरामीटर का मूल्य जानते हैं, तो हम अनुमान त्रुटि की गणना कर सकते हैं, जिसे अनुमानित मूल्य और पैरामीटर के वास्तविक मूल्य के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

सोना

अनुमान का मूल्य है और

पैरामीटर का वास्तविक मान है.

आप माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) की भी गणना कर सकते हैं, जो वर्ग त्रुटियों का औसत है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि माध्य वर्ग त्रुटि अनुमानक के विचरण का प्रतिनिधित्व करती है।

जब जनसंख्या पैरामीटर का सही मूल्य ज्ञात नहीं होता है, जो कि सबसे आम मामला है, तो अनुमान सही है या नहीं यह जांचने के लिए आमतौर पर एक परिकल्पना परीक्षण किया जाता है।