प्रतिगमन लाइन

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 2, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आंकड़ों में प्रतिगमन रेखा क्या है। तो, आप पाएंगे कि दो चरों के बीच प्रतिगमन रेखा की गणना कैसे करें, एक हल किया गया अभ्यास और, इसके अलावा, डेटा के किसी भी नमूने के लिए प्रतिगमन रेखा की गणना करने के लिए एक ऑनलाइन कैलकुलेटर।

प्रतिगमन रेखा क्या है?

आंकड़ों में, प्रतिगमन रेखा एक सरल रैखिक प्रतिगमन मॉडल से प्राप्त रेखा है। अधिक सटीक रूप से, प्रतिगमन रेखा वह रेखा है जो स्कैटर प्लॉट के लिए सबसे उपयुक्त होती है और इसलिए, सांख्यिकीय डेटा के एक सेट का सबसे अच्छा वर्णन करती है।

इस प्रकार, प्रतिगमन रेखा समीकरण गणितीय रूप से डेटा के एक सेट के स्वतंत्र चर X और आश्रित चर Y से संबंधित है। हालाँकि प्रतिगमन रेखा आम तौर पर प्रत्येक अवलोकन के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने में सक्षम नहीं है, यह इसके मूल्य का एक अनुमान प्रदान कर सकती है।

जैसा कि आप पिछले ग्राफ़ में देख सकते हैं, प्रतिगमन रेखा हमें डेटा सेट की प्रवृत्ति और स्वतंत्र चर और आश्रित चर के बीच किस प्रकार का संबंध मौजूद है, यह देखने में मदद करती है। नीचे हम प्रतिगमन रेखा के अनुप्रयोगों को देखेंगे।

प्रतिगमन रेखा सूत्र

अब जब हम प्रतिगमन रेखा की परिभाषा जानते हैं, तो आइए देखें कि रैखिक प्रतिगमन मॉडल की रेखा के समीकरण की गणना कैसे करें।

किसी भी रेखा की तरह, प्रतिगमन रेखा का समीकरण एक स्थिरांक (बी ₀ ) और एक ढलान (बी ₁ ) से बना होता है:

$y=b_0+b_1x$

इस प्रकार, रैखिक प्रतिगमन रेखा के गुणांकों की गणना के सूत्र इस प्रकार हैं:

$\begin{array}{c}b_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]b_0=\overline{y}-b_1\overline{x}\end{array}$

सोना:

$b_0$

प्रतिगमन रेखा का स्थिरांक है।
$b_1$

प्रतिगमन रेखा का ढलान है.
$x_i$

डेटा i के स्वतंत्र चर X का मान है।
$y_i$

डेटा i के आश्रित चर Y का मान है।
$\overline{x}$

स्वतंत्र चर के मानों का औसत है
$\overline{y}$

आश्रित चर Y के मानों का औसत है।

👉 आप किसी भी डेटा सेट के लिए प्रतिगमन रेखा की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

प्रतिगमन रेखा का ठोस उदाहरण

प्रतिगमन रेखा की अवधारणा को और अधिक जानने के लिए, नीचे प्रतिगमन रेखा बनाने का एक उदाहरण दिया गया है।

सांख्यिकी परीक्षा देने के बाद, पांच छात्रों से पूछा गया कि उन्होंने परीक्षा में कितने घंटे अध्ययन किया, डेटा नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है। अध्ययन के घंटों को प्राप्त ग्रेड से रैखिक रूप से जोड़ने के लिए एकत्र किए गए सांख्यिकीय डेटा से प्रतिगमन रेखा की गणना करें। इसके बाद, निर्धारित करें कि 8 घंटे पढ़ाई करने वाले छात्र को कौन सा ग्रेड मिलेगा।

नमूना डेटा के लिए प्रतिगमन रेखा खोजने के लिए, हमें समीकरण के गुणांक b ₀ और b ₁ निर्धारित करने की आवश्यकता है और, ऐसा करने के लिए, हमें उपरोक्त अनुभाग में देखे गए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

हालाँकि, रैखिक प्रतिगमन रेखा के लिए सूत्रों को लागू करने के लिए, हमें पहले स्वतंत्र चर के माध्य और आश्रित चर के माध्य की गणना करनी होगी:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\[4ex]\overline{y}=\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\end{array}$

अब जब हम चरों के माध्य जानते हैं, तो हम मॉडल के गुणांक b ₁ की गणना उसके संगत सूत्र का उपयोग करके करते हैं:

$\begin{array}{c}b_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[10ex] b_1=\cfrac{\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\[6ex]b_1=0,4412\end{array}$

अंत में, हम संबंधित सूत्र का उपयोग करके मॉडल के गुणांक b ₀ की गणना करते हैं:

$\begin{array}{l}b_0=\overline{y}-b_1\overline{x}\\[3ex]b_0=6-0,4412\cdot 9 \\[3ex]b_0=2,0294\end{array}$

संक्षेप में, समस्या की रैखिक प्रतिगमन रेखा का समीकरण इस प्रकार है:

$y=2,0294+0,4412x$

नीचे आप नमूना डेटा के चित्रमय प्रतिनिधित्व के साथ-साथ सरल रैखिक प्रतिगमन मॉडल की सीधी रेखा देख सकते हैं:

एक बार जब हमने प्रतिगमन रेखा की गणना कर ली है, तो यह अनुमान लगाने के लिए कि 8 घंटे अध्ययन करने वाले छात्र को कौन सा ग्रेड मिलेगा, बस इस मान को प्राप्त प्रतिगमन रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

$y=2,0294+0,4412\cdot 8=5,56$

इस प्रकार, किए गए रैखिक प्रतिगमन मॉडल के अनुसार, यदि कोई छात्र आठ घंटे अध्ययन करता है, तो उसे परीक्षा में 5.56 अंक प्राप्त होंगे।

प्रतिगमन रेखा का उपयोग किसके लिए किया जाता है?

मुख्य रूप से, प्रतिगमन रेखा के दो उपयोग होते हैं: प्रतिगमन रेखा का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दो चर के बीच किस प्रकार का संबंध मौजूद है और दूसरी ओर, प्रतिगमन रेखा आपको एक नए अवलोकन के मूल्य के बारे में भविष्यवाणी करने की भी अनुमति देती है।

प्रतिगमन रेखा का ढलान हमें बताता है कि स्वतंत्र चर और आश्रित चर के बीच संबंध कैसा है। यदि ढलान सकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि आश्रित चर स्वतंत्र चर के सीधे आनुपातिक है, जबकि यदि ढलान नकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि चर व्युत्क्रमानुपाती हैं। अंत में, यदि ढलान गुणांक शून्य के बहुत करीब है, तो इसका मतलब है कि दो चर के बीच संबंध बहुत कमजोर है।

इसके अतिरिक्त, यदि प्रतिगमन रेखा का समीकरण ज्ञात है, तो स्वतंत्र चर के एक नए मूल्य के लिए आश्रित चर के मूल्य की भविष्यवाणी की जा सकती है, जैसा कि हमने उपरोक्त उदाहरण में किया था। इस प्रकार, प्रतिगमन रेखा को जितना बेहतर ढंग से अनुकूलित किया जाएगा, उतनी ही बेहतर भविष्यवाणियाँ होंगी।

प्रतिगमन रेखा कैलकुलेटर

दो चरों के बीच प्रतिगमन रेखा की गणना करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर में डेटा का एक नमूना दर्ज करें। आपको डेटा जोड़े को अलग करने की आवश्यकता है, ताकि पहले बॉक्स में केवल स्वतंत्र चर X के मान हों और दूसरे बॉक्स में केवल आश्रित चर Y के मान हों।

डेटा को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने