बर्नौली वितरण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 4, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि बर्नौली वितरण क्या है और इसका सूत्र क्या है। इसके अतिरिक्त, आपको बर्नौली वितरण के गुण और इसके अर्थ को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक हल किया गया अभ्यास मिलेगा।

बर्नौली वितरण क्या है?

बर्नौली वितरण , जिसे द्विभाजित वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक संभाव्यता वितरण है जो एक अलग चर का प्रतिनिधित्व करता है जिसके केवल दो परिणाम हो सकते हैं: “सफलता” या “असफलता”।

बर्नौली वितरण में, “सफलता” वह परिणाम है जिसकी हम अपेक्षा करते हैं और इसका मान 1 है, जबकि “असफलता” का परिणाम अपेक्षित परिणाम के अलावा एक परिणाम है और इसका मान 0 है। इसलिए, यदि परिणाम की संभावना ” सफलता” p है, “असफलता” के परिणाम की संभावना q=1-p है।

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

बर्नौली वितरण का नाम स्विस सांख्यिकीविद् जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है।

आंकड़ों में, बर्नौली वितरण का मुख्य रूप से एक अनुप्रयोग है: प्रयोगों की संभावनाओं को परिभाषित करना जिसमें केवल दो संभावित परिणाम हैं: सफलता और विफलता। तो, एक प्रयोग जो बर्नौली वितरण का उपयोग करता है उसे बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग कहा जाता है।

बर्नौली वितरण सूत्र

यदि p “सफलता” के परिणाम की संभावना है, तो बर्नौली वितरण की संभावना p को x से गुणा करके 1-p से 1-x तक गुणा करने के बराबर है। इस प्रकार बर्नौली वितरण की संभावनाओं की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है :

ध्यान दें कि बर्नौली वितरण में, x का मान केवल 0 (असफलता) या 1 (सफलता) हो सकता है।

दूसरी ओर, पिछले सूत्र को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्ति का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

बर्नौली वितरण का उदाहरण

अब जब हम बर्नौली वितरण की परिभाषा जानते हैं और इसका सूत्र क्या है, तो आइए बर्नौली वितरण का एक ठोस उदाहरण देखें।

गेम जीतने के लिए, एक खिलाड़ी को पासा फेंकना होगा और 2 प्राप्त करना होगा, अन्यथा कोई अन्य खिलाड़ी गेम जीत जाएगा और इसलिए गेम हार जाएगा। सफलता और विफलता की संभावना की गणना करें.

एक पासे के छह संभावित परिणाम (1, 2, 3, 4, 5, 6) होते हैं, इसलिए इस मामले में प्रयोग का नमूना स्थान है:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

हमारे मामले में, सफलता का एकमात्र मामला नंबर दो प्राप्त करना है, इसलिए लाप्लास के नियम को लागू करने पर सफलता की संभावना संभावित परिणामों की कुल संख्या (6) से विभाजित एक के बराबर है:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

दूसरी ओर, यदि पासा घुमाते समय कोई अन्य संख्या दिखाई देती है, तो प्रयोग का परिणाम विफल माना जाएगा, क्योंकि खिलाड़ी खेल हार जाएगा। इस प्रकार, यह संभावना पहले से गणना की गई संभावना को घटाकर एक के बराबर है:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

संक्षेप में, इस प्रयोग का बर्नौली वितरण निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

जैसा कि आप नीचे देख सकते हैं, ऊपर देखे गए सूत्र को लागू करके बर्नौली वितरण की संभावनाएं भी पाई जा सकती हैं:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

बर्नौली वितरण की विशेषताएँ

बर्नौली वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएं नीचे दी गई हैं।

बर्नौली वितरण केवल 1 (सफलता) या 0 (विफलता) मान ले सकता है।

$x=\{0\ ; 1\}$

बर्नौली वितरण का माध्य “सफलता” परिणाम के घटित होने की संभावना के बराबर है।

$E[X]=p$

बर्नौली वितरण के विचरण की गणना परिणाम “सफलता” और “असफलता” की घटित होने की संभावनाओं को गुणा करके की जा सकती है। या, समकक्ष, विचरण p गुणा 1-p है।

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

बर्नौली वितरण के मोड का मूल्य “सफलता” और “असफलता” की संभावनाओं पर निर्भर करता है। इस प्रकार, इस प्रकार के वितरण का तरीका निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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दूसरी ओर, बर्नौली वितरण की संचयी संभाव्यता फ़ंक्शन को निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

बर्नौली वितरण के विषमता गुणांक की गणना निम्नलिखित अभिव्यक्ति के साथ की जाती है:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

इसी प्रकार, बर्नौली वितरण का कर्टोसिस पैरामीटर पी के मूल्य पर निर्भर करता है और निम्नलिखित सूत्र को लागू करके पाया जा सकता है:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

बर्नौली वितरण और द्विपद वितरण

इस खंड में, हम बर्नौली वितरण और द्विपद वितरण के बीच अंतर देखेंगे, क्योंकि वे दो प्रकार के संबंधित संभाव्यता वितरण हैं।

द्विपद वितरण बर्नौली परीक्षणों के एक सेट से प्राप्त “सफल” परिणामों की संख्या की गणना करता है। ये बर्नौली प्रयोग स्वतंत्र होने चाहिए लेकिन सफलता की संभावना समान होनी चाहिए।

इसलिए, द्विपद वितरण चर के एक सेट का योग है जो बर्नौली वितरण का अनुसरण करता है , सभी एक ही पैरामीटर पी द्वारा परिभाषित होते हैं।

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

तो बर्नौली वितरण में केवल एक बर्नौली प्रयोग है, जबकि द्विपद वितरण में बर्नौली प्रयोगों का एक क्रम है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने