मछली वितरण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आंकड़ों में पॉइसन वितरण क्या है और इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। तो, आपको पॉइसन वितरण की परिभाषा, पॉइसन वितरण के उदाहरण और उनके गुण क्या हैं, यह पता चलेगा। अंत में, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर से पॉइसन वितरण की किसी भी संभावना की गणना करने में सक्षम होंगे।

पॉइसन वितरण क्या है?

पॉइसन वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो किसी निश्चित समयावधि में घटित होने वाली घटनाओं की संख्या की संभावना को परिभाषित करता है।

दूसरे शब्दों में, पॉइसन वितरण का उपयोग यादृच्छिक चर को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो एक समय अंतराल में किसी घटना को दोहराने की संख्या का वर्णन करता है।

पॉइसन वितरण में एक विशिष्ट पैरामीटर होता है, जिसे ग्रीक अक्षर λ द्वारा दर्शाया जाता है और यह इंगित करता है कि किसी दिए गए अंतराल के दौरान अध्ययन की गई घटना कितनी बार घटित होने की उम्मीद है।

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

सामान्य तौर पर, पॉइसन वितरण का उपयोग घटित होने की बहुत कम संभावना वाली घटनाओं को सांख्यिकीय रूप से मॉडल करने के लिए किया जाता है। नीचे आप इस प्रकार के संभाव्यता वितरण के कई उदाहरण देख सकते हैं।

पॉइसन वितरण के उदाहरण

पॉइसन वितरण की परिभाषा देखने के बाद, यहां पॉइसन वितरण के कई उदाहरण दिए गए हैं।

पॉइसन वितरण के उदाहरण:

एक घंटे में किसी स्टोर में प्रवेश करने वाले लोगों की संख्या.
एक महीने में दो देशों के बीच सीमा पार करने वाले वाहनों की संख्या।
एक दिन में किसी वेब पेज तक पहुंचने वाले उपयोगकर्ताओं की संख्या।
एक दिन में किसी कारखाने द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण भागों की संख्या।
किसी टेलीफोन एक्सचेंज को प्रति मिनट प्राप्त होने वाली कॉलों की संख्या।

मछली वितरण सूत्र

पॉइसन वितरण में, x घटनाओं के घटित होने की संभावना संख्या e से -λ की घात को λ द्वारा x की घात से गुणा करने और x के फैक्टोरियल से विभाजित करने के बराबर होती है।

इसलिए, पॉइसन वितरण की संभावना की गणना करने का सूत्र है:

👉 आप पॉइसन वितरण का अनुसरण करने वाले एक चर की संभावना की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

चूंकि पॉइसन वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है, संचयी संभाव्यता निर्धारित करने के लिए, आपको प्रश्न में मूल्य तक सभी मूल्यों की संभावनाओं को ढूंढना होगा और फिर सभी गणना की गई संभावनाओं को जोड़ना होगा।

पॉइसन वितरण पर हल किया गया अभ्यास

किसी ब्रांड द्वारा बेचे जाने वाले उत्पादों की संख्या λ=5 यूनिट/दिन के पॉइसन वितरण के अनुसार होती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक दिन में आपने केवल 7 इकाइयाँ बेचीं? और इसकी प्रायिकता कि आपने एक दिन में 3 इकाइयाँ या उससे कम बेचीं?

समस्या के लिए आवश्यक विभिन्न संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए, हमें पॉइसन वितरण सूत्र (ऊपर देखें) लागू करना होगा। तो, इस सूत्र का उपयोग करके हम एक दिन में 7 इकाइयाँ बेचने की संभावना की गणना करते हैं:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

दूसरा, हमें 3 या उससे कम इकाइयाँ बेचने की संचयी संभावना निर्धारित करने के लिए कहा जाता है। इसलिए, इस संभावना को खोजने के लिए, हमें 1 यूनिट, 2 यूनिट और 3 यूनिट को अलग-अलग बेचने की संभावना की गणना करने और फिर उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

इसलिए, हम पहले प्रत्येक संभावना की अलग से गणना करते हैं:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

इसके बाद, हम एक दिन में तीन या उससे कम इकाइयाँ बेचने की संभावना निर्धारित करने के लिए तीन गणना की गई संभावनाओं को जोड़ते हैं।

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

पॉइसन वितरण की विशेषताएँ

इस अनुभाग में हम देखेंगे कि पॉइसन वितरण की विशेषताएं क्या हैं।

पॉइसन वितरण को एक एकल विशेषता पैरामीटर, λ द्वारा परिभाषित किया गया है, जो इंगित करता है कि एक निश्चित अवधि के दौरान अध्ययन की गई घटना कितनी बार घटित होने की उम्मीद है।

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

पॉइसन वितरण का माध्य इसके विशिष्ट पैरामीटर λ के बराबर है।

$E[X]=\lambda$

इसी प्रकार, पॉइसन वितरण का विचरण इसके विशिष्ट पैरामीटर λ के बराबर है।

$Var(X)=\lambda$

यदि λ एक पूर्णांक है, तो पॉइसन वितरण का मोड द्विमोडल है और इसके मान λ और λ-1 हैं। इसके बजाय, यदि λ एक पूर्णांक नहीं है, तो पॉइसन वितरण का मोड λ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है।

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

पॉइसन वितरण का माध्यिका निर्धारित करने के लिए कोई विशिष्ट सूत्र नहीं है, लेकिन आप इसका अंतराल पा सकते हैं:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

पॉइसन वितरण का संभाव्यता कार्य इस प्रकार है:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर जोड़ने से एक और पॉइसन यादृच्छिक चर बनता है जिसका विशेषता पैरामीटर मूल चर के मापदंडों का योग है।

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

एक द्विपद वितरण को पॉइसन वितरण के रूप में अनुमानित किया जा सकता है यदि अवलोकनों की कुल संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है (n≥100), λ द्विपद वितरण के दो विशिष्ट मापदंडों का उत्पाद है।

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ देखें: द्विपद वितरण की विशेषताएँ

मछली वितरण कैलकुलेटर

संभाव्यता की गणना करने के लिए पैरामीटर λ का मान और x का मान नीचे कैलकुलेटर में प्लग करें। आपको उस संभावना का चयन करना होगा जिसकी आप गणना करना चाहते हैं और दशमलव विभाजक के रूप में बिंदु का उपयोग करके संख्याएं दर्ज करें, उदाहरण के लिए 0.1667।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने