यादृच्छिक चर क्या हैं?

एक यादृच्छिक चर , जिसे आम तौर पर X कहा जाता है, एक ऐसा चर है जिसके संभावित मान एक यादृच्छिक प्रक्रिया के परिणाम होते हैं।

यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर ।

असतत यादृच्छिक चर

एक असतत यादृच्छिक चर वह है जो केवल 0, 1, 2, 3, 4, 5…100, 1 मिलियन, आदि जैसे विशिष्ट मानों की एक गणनीय संख्या ले सकता है। यहां असतत यादृच्छिक चर के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• एक सिक्के को 20 बार उछालने के बाद जितनी बार पटल पर आता है।
• 100 बार घुमाने के बाद एक पासा 4 नंबर पर जितनी बार गिरता है।
• 50 विजेट्स के एक बॉक्स में दोषपूर्ण विजेट्स की संख्या।

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण हमें संभावना बताता है कि यादृच्छिक चर कुछ मान लेता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमने एक बार निष्पक्ष पासा फेंका। यदि हम X को इस संभावना को निरूपित करने दें कि पासा एक निश्चित संख्या पर गिरता है, तो संभाव्यता वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

• पी(एक्स=1): 1/6
• पी(एक्स=2): 1/6
• पी(एक्स=3): 1/6
• पी(एक्स=4): 1/6
• पी(एक्स=5): 1/6
• पी(एक्स=6): 1/6

टिप्पणी:

संभाव्यता वितरण के वैध होने के लिए, इसे निम्नलिखित दो मानदंडों को पूरा करना होगा:

1. प्रत्येक परिणाम की संभावना 0 और 1 के बीच होनी चाहिए।

2. सभी संभावनाओं का योग 1 होना चाहिए।

ध्यान दें कि डाई रोल के लिए संभाव्यता वितरण इन दोनों मानदंडों को पूरा करता है:

1. प्रत्येक परिणाम की संभावना 0 और 1 के बीच है।

2. सभी संभावनाओं का योग 1 होता है।

संभाव्यता वितरण को देखने के लिए हम हिस्टोग्राम का उपयोग कर सकते हैं:

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए संचयी संभाव्यता वितरण हमें संभावना बताता है कि चर एक निश्चित मूल्य के बराबर या उससे कम मूल्य लेता है।

उदाहरण के लिए, एक डाई रोल के लिए संचयी संभाव्यता वितरण इस प्रकार दिखेगा:

• पी(एक्स≤1): 1/6
• पी(एक्स≤2): 2/6
• पी(एक्स≤3): 3/6
• पी(एक्स≤4): 4/6
• पी(एक्स≤5): 5/6
• पी(एक्स≤6): 6/6

पासे के एक या उससे कम पर उतरने की संभावना मात्र 1/6 है, क्योंकि यह एक से कम संख्या पर नहीं उतर सकता।

इसके दो या उससे कम पर उतरने की संभावना P(X=1) + P(X=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 है।

इसी प्रकार, इसके तीन या उससे कम पर उतरने की संभावना P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 है, और जल्द ही।

संचयी संभाव्यता वितरण को देखने के लिए हम हिस्टोग्राम का भी उपयोग कर सकते हैं:

सतत यादृच्छिक चर

एक सतत यादृच्छिक चर एक ऐसा चर है जो अनंत रूप से कई संभावित मान ले सकता है। यहां सतत यादृच्छिक चर के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• एक जानवर का वजन
• किसी व्यक्ति की ऊंचाई
• मैराथन दौड़ने के लिए समय की आवश्यकता है

उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की ऊंचाई 60.2 इंच, 65.2344 इंच, 70.431222 इंच आदि हो सकती है। आकार के लिए संभावित मानों की अनंत संख्या है।

सामान्य नियम:

यदि आप परिणामों की संख्या की गणना कर सकते हैं, तो आप एक अलग यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं – उदाहरण के लिए, एक सिक्के के शीर्ष पर आने की संख्या की गणना करना।

लेकिन यदि आप परिणाम को माप सकते हैं, तो आप एक सतत यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं – उदाहरण के लिए ऊंचाई, वजन, समय आदि को मापना।

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण हमें संभावना बताता है कि यादृच्छिक चर कुछ मान लेता है।

हालाँकि, असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण के विपरीत, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण का उपयोग केवल हमें यह बताने के लिए किया जा सकता है कि चर मानों की एक श्रृंखला लेता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम इस संभावना को जानना चाहते हैं कि किसी विशेष रेस्तरां के हैमबर्गर का वजन एक चौथाई पाउंड (0.25 पाउंड) है। चूँकि वजन एक सतत चर है, यह अनंत संख्या में मान ले सकता है।

उदाहरण के लिए, किसी दिए गए हैमबर्गर का वजन वास्तव में 0.250001 पाउंड, या 0.24 पाउंड, या 0.2488 पाउंड हो सकता है। यह संभावना कि किसी दिए गए हैमबर्गर का वजन ठीक 0.25 पाउंड होगा, अनिवार्य रूप से शून्य है।

इसलिए हम संभाव्यता वितरण का उपयोग केवल यह बताने के लिए कर सकते हैं कि एक हैमबर्गर का वजन 0.25 पाउंड से कम, 0.25 पाउंड से अधिक, या एक निश्चित सीमा के बीच होता है (उदाहरण के लिए 0.23 पाउंड और 0.27 पाउंड के बीच)।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल यादृच्छिक चर के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

आईआईडी यादृच्छिक चर क्या हैं?
वास्तविक जीवन में यादृच्छिक चर के 10 उदाहरण