रेले वितरण का परिचय

रेले वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग यादृच्छिक चर को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो केवल शून्य के बराबर या उससे अधिक मान ले सकता है।

इसमें निम्नलिखित संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:

f(x; σ) = (x/σ ² )e ^{-x 2 /(2σ 2 )}

जहां σ वितरण का स्केल पैरामीटर है।

रेले वितरण के गुण

रेले वितरण में निम्नलिखित गुण हैं:

• औसत: σ√ π/2
• विचलन: ((4-π)/2)σ ²
• मोड: σ

चूँकि π का एक ज्ञात संख्यात्मक मान है, हम गुणों को निम्नानुसार सरल बना सकते हैं:

• औसत: 1.253σ
• विचलन: 0.429σ ²
• मोड: σ

रेले वितरण का विज़ुअलाइज़ेशन

निम्नलिखित ग्राफ रेले वितरण के आकार को दिखाता है क्योंकि यह स्केल पैरामीटर के लिए अलग-अलग मान लेता है:

ध्यान दें कि स्केल पैरामीटर का मान जितना बड़ा होगा, वितरण उतना ही व्यापक होगा।

बोनस: जो लोग उत्सुक हैं, उनके लिए हमने उपरोक्त ग्राफ़ तैयार करने के लिए निम्नलिखित आर कोड का उपयोग किया है:

 #load VGAM package
library (VGAM)

#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)

#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
       col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)

अन्य वितरणों के साथ संबंध

रेले वितरण का अन्य संभाव्यता वितरणों से निम्नलिखित संबंध है:

1. जब स्केल पैरामीटर (σ) 1 के बराबर होता है, तो रेले वितरण 2 डिग्री स्वतंत्रता के साथ ची-स्क्वायर वितरण के बराबर होता है।

2. रेले वितरण वेइबुल वितरण का एक विशेष मामला है जिसका आकार पैरामीटर k = 2 है।

3. स्केल पैरामीटर σ के साथ रेले वितरण चावल (0, σ) के साथ चावल वितरण के बराबर है।

अनुप्रयोग

व्यवहार में, रेले वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

1. रेले वितरण का उपयोग समुद्र में लहरों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जिसमें लहरों को उनके शिखर तक पहुंचने में लगने वाला समय और लहरों द्वारा पहुंचाई गई अधिकतम ऊंचाई भी शामिल है।

2. रेले वितरण का उपयोग चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग में पृष्ठभूमि डेटा के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जिसे आमतौर पर एमआरआई के रूप में जाना जाता है।

3. रेले वितरण का उपयोग पोषण के क्षेत्र में मनुष्यों और जानवरों में पोषक तत्वों के स्तर और पोषण संबंधी प्रतिक्रिया के बीच संबंध को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल सांख्यिकी में अन्य वितरणों के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

सामान्य वितरण का परिचय
द्विपद वितरण का परिचय
पॉइसन वितरण का परिचय