विश्वास अंतराल

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि सांख्यिकी में विश्वास अंतराल क्या है और इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। आपको वे कारक भी मिलेंगे जो आत्मविश्वास अंतराल को प्रभावित करते हैं और आत्मविश्वास अंतराल की गणना कैसे की जाती है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है?

आँकड़ों में, आत्मविश्वास अंतराल एक अंतराल है जो उन मूल्यों का अनुमान देता है जिनके बीच जनसंख्या पैरामीटर का मान एक निश्चित स्तर के आत्मविश्वास से जुड़ा होता है। सबसे आम आत्मविश्वास अंतराल में आत्मविश्वास का स्तर 95% या 99% होता है।

उदाहरण के लिए, यदि 95% के आत्मविश्वास स्तर वाली जनसंख्या के माध्य के लिए विश्वास अंतराल (3.7) है, तो इसका मतलब है कि अध्ययन की गई जनसंख्या का माध्य 95% की संभावना के साथ 3 और 7 के बीच होगा।

इसलिए, आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग दो मानों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जिनके बीच जनसंख्या पैरामीटर स्थित होता है। आम तौर पर, जनसंख्या मापदंडों के मान अज्ञात होते हैं, इसलिए जनसंख्या मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक नमूने में डेटा से एक विश्वास अंतराल की गणना की जाती है।

आत्मविश्वास अंतराल को प्रभावित करने वाले कारक

एक बार जब हमने कॉन्फिडेंस इंटरवल की परिभाषा देख ली, तो हम देखेंगे कि वे कौन से कारक हैं जिन पर कॉन्फिडेंस इंटरवल अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए निर्भर करता है।

नमूना आकार : अध्ययन किए गए अवलोकनों की संख्या विश्वास अंतराल की सटीकता को प्रभावित करती है, क्योंकि हमारे पास जितना अधिक डेटा होगा, उतना अधिक मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है। सामान्य तौर पर, नमूना आकार जितना बड़ा होगा, विश्वास अंतराल की चौड़ाई उतनी ही कम होगी।
त्रुटि का मार्जिन : स्वीकार्य त्रुटि जितनी बड़ी होगी, विश्वास अंतराल उतना ही बड़ा होगा, और इसलिए अधिक संभावना है कि पैरामीटर का सही मूल्य विश्वास अंतराल के भीतर है। हालाँकि, त्रुटि की संभावना विश्वास अंतराल की सटीकता को कम कर देती है।
आत्मविश्वास का स्तर : यह संभावना है कि जनसंख्या आंकड़ों का अनुमान आत्मविश्वास अंतराल के भीतर है। आमतौर पर, किसी अंतराल का आत्मविश्वास स्तर 1-α के रूप में दर्शाया जाता है और प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। उच्च आत्मविश्वास स्तर इस संभावना को बढ़ाता है कि वास्तविक मान अंतराल सीमाओं के बीच है, लेकिन अंतराल की चौड़ाई भी बढ़ जाती है।
अनुमानित पैरामीटर : विश्वास अंतराल अनुमानित किए जाने वाले पैरामीटर पर निर्भर करता है। वास्तव में, विश्वास अंतराल की गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र अनुमानित पैरामीटर पर निर्भर करता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना कैसे करें

प्रत्येक प्रकार के विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए लागू करने का सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है, क्योंकि इस पर निर्भर करते हुए कि हम माध्य, विचरण या अनुपात के लिए विश्वास अंतराल निर्धारित करना चाहते हैं, उपयोग करने का सूत्र अलग है।

माध्य के लिए विश्वास अंतराल

इस तथ्य से शुरू करें कि एक वेरिएबल टाइप करने की प्रक्रिया निम्नानुसार की जाती है:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना नमूना माध्य से जोड़कर और घटाकर Z _α/2 के मान को मानक विचलन (σ) से गुणा करके और नमूने के आकार (n) के वर्गमूल से विभाजित करके की जाती है। इसलिए, माध्य के विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र है:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

बड़े नमूना आकार और 95% आत्मविश्वास स्तर के लिए, महत्वपूर्ण मान Z _α/2 = 1.96 है और 99% आत्मविश्वास स्तर के लिए, महत्वपूर्ण मान Z _α/2 = 2.576 है।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या भिन्नता ज्ञात होती है। हालाँकि, यदि जनसंख्या भिन्नता अज्ञात है, जो कि सबसे आम मामला है, तो माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

सोना:

$\overline{x}$

नमूना साधन है.
$t_{\alpha/2}$

प्रायिकता α/2 के साथ स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के छात्र के t वितरण का मान है।
$s$

नमूना मानक विचलन है.
$n$

नमूना आकार है.

➤ देखें: माध्य के विश्वास अंतराल की गणना का उदाहरण

विचरण के लिए विश्वास अंतराल

किसी जनसंख्या के विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए, ची-स्क्वायर वितरण का उपयोग किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र है:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

सोना:

$n$

नमूना आकार है.
$s$

नमूना मानक विचलन है.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

α/2 से कम संभावना के लिए स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के साथ ची-स्क्वायर वितरण का मान है।
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

1-α/2 से अधिक संभावना के लिए स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के साथ ची-स्क्वायर वितरण का मान है।

➤ देखें: विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना का उदाहरण

अनुपात के लिए विश्वास अंतराल

अनुपात के लिए विश्वास अंतराल की गणना नमूना अनुपात से Z _α/2 के मूल्य को जोड़कर और घटाकर नमूना अनुपात (पी) के वर्गमूल से गुणा करके 1-पी से गुणा करके और नमूना आकार (एन) से विभाजित करके की जाती है। इसलिए, अनुपात के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र है:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

सोना:

$p$

नमूना अनुपात है.
$n$

नमूना आकार है.
$Z_{\alpha/2}$

α/2 की संभावना के अनुरूप मानक सामान्य वितरण की मात्रा है। बड़े नमूना आकार और 95% आत्मविश्वास स्तर के लिए यह आमतौर पर 1.96 के करीब है और 99% आत्मविश्वास स्तर के लिए यह आमतौर पर 2.576 के करीब है।

➤ देखें: अनुपात के लिए विश्वास अंतराल की गणना का उदाहरण

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है?

आत्मविश्वास अंतराल को प्रभावित करने वाले कारक

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