वेल्च का टी परीक्षण: इसका उपयोग कब करें + उदाहरण

जब हम दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना करना चाहते हैं, तो हम दो अलग-अलग परीक्षणों का उपयोग करने के बीच चयन कर सकते हैं:

विद्यार्थी का टी-टेस्ट: यह परीक्षण मानता है कि डेटा के दो समूहों को उन आबादी से नमूना लिया गया है जो सामान्य वितरण का पालन करती हैं और दोनों आबादी में समान भिन्नता है।

वेल्च का टी-परीक्षण: यह परीक्षण मानता है कि डेटा के दोनों समूह सामान्य वितरण का पालन करने वाली आबादी से नमूने लिए गए हैं, लेकिन यह नहीं मानता कि इन दोनों आबादी में समान भिन्नता है।

विद्यार्थी के टी-टेस्ट और वेल्च के टी-टेस्ट के बीच अंतर

विद्यार्थी का टी-टेस्ट और वेल्च का टी-टेस्ट कैसे किया जाता है, इसमें दो अंतर हैं:

• परीक्षण आँकड़ा
• स्वतंत्रता की कोटियां

विद्यार्थी का टी-टेस्ट:

परीक्षण आँकड़ा: ( x ₁ – x ₂ ) / _sp (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ )

जहां x ₁ और x ₂ नमूना साधन हैं, n ₁ और n ₂ क्रमशः नमूना 1 और नमूना 2 के लिए नमूना आकार हैं, और जहां _{एसपी की} गणना निम्नानुसार की जाती है:

एस _पी = √ (एन ₁ -1)एस ₁ ² + (एन ₂ -1)एस ₂ ² / (एन ₁ +एन ₂ -2)

जहां s ₁ ² और s ₂ ² नमूना भिन्नताएं हैं।

स्वतंत्रता की डिग्री: एन ₁ + एन ₂ – 2

वेल्च का टी-टेस्ट

परीक्षण आँकड़ा: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

स्वतंत्रता की डिग्री: (एस ₁ ² /एन ₁ + एस ₂ ² /एन ₂ ) ² / { [(एस ₁ ² / एन ₁ ) ² / (एन ₁ – 1) ] + [ (एस ₂ ² / एन ₂ ) ² / (एन ₂ – 1) ] }

वेल्च के टी-टेस्ट के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की गणना करने का सूत्र दो मानक विचलनों के बीच के अंतर को ध्यान में रखता है। यदि दो नमूनों में समान मानक विचलन हैं, तो वेल्च के टी-परीक्षण की स्वतंत्रता की डिग्री छात्र के टी-परीक्षण की स्वतंत्रता की डिग्री के समान होगी।

आमतौर पर, दो नमूनों के लिए मानक विचलन समान नहीं होते हैं और इसलिए वेल्च के टी-परीक्षण की स्वतंत्रता की डिग्री छात्र के टी-परीक्षण की स्वतंत्रता की डिग्री से छोटी होती है।

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वेल्च के टी-टेस्ट में स्वतंत्रता की डिग्री आम तौर पर पूर्णांक नहीं होती है। यदि आप मैन्युअल रूप से परीक्षण कर रहे हैं, तो सबसे कम पूर्ण संख्या तक पूर्णांक बनाना सबसे अच्छा है। यदि आप आर जैसे सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर का उपयोग करते हैं, तो सॉफ़्टवेयर स्वतंत्रता की डिग्री का दशमलव मान प्रदान करने में सक्षम होगा।

आपको वेल्च टी-टेस्ट का उपयोग कब करना चाहिए?

कुछ लोगों का तर्क है कि वेल्च का टी-टेस्ट दो स्वतंत्र समूहों के साधनों की तुलना करने के लिए डिफ़ॉल्ट विकल्प होना चाहिए क्योंकि यह छात्र के टी-टेस्ट से बेहतर प्रदर्शन करता है जब समूहों के बीच नमूना आकार और भिन्नताएं असमान होती हैं, और नमूना आकार होने पर यह समान परिणाम देता है कुछ अलग हैं। अंतर बराबर हैं.

व्यवहार में, जब आप दो समूहों के माध्यों की तुलना करते हैं, तो यह संभावना नहीं है कि प्रत्येक समूह का मानक विचलन समान होगा। इसलिए हमेशा वेल्च के टी-टेस्ट का उपयोग करना एक अच्छा विचार है, ताकि आपको भिन्नताओं की समानता के बारे में धारणा न बनानी पड़े।

वेल्च के टी-टेस्ट का उपयोग करने के उदाहरण

इसके बाद, हम यह निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित दो नमूनों पर वेल्च का टी-परीक्षण करेंगे कि क्या उनकी जनसंख्या का मतलब 0.05 महत्व स्तर पर महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है:

नमूना 1: 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25

नमूना 2: 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34

हम बताएंगे कि परीक्षण को तीन अलग-अलग तरीकों से कैसे किया जाए:

• हाथ से
• माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल का प्रयोग करें
• आर सांख्यिकीय प्रोग्रामिंग भाषा का प्रयोग करें

वेल्च का टी परीक्षण हाथ से

वेल्च टी-टेस्ट को हाथ से करने के लिए, हमें सबसे पहले नमूना साधन, नमूना भिन्नताएं और नमूना आकार ढूंढना होगा:

x1 _– 19.27
x2 _– 23.69
एस ₁ ² – 8:42 अपराह्न
कला ₂ ² – 83.23
# _1-11
# _2-13

फिर हम परीक्षण आँकड़े खोजने के लिए इन नंबरों को दर्ज कर सकते हैं:

परीक्षण आँकड़ा: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

परीक्षण आँकड़ा: (19.27 – 23.69) / (√ 20.42/11 + 83.23/13 ) = -4.42 / 2.873 = -1.538

स्वतंत्रता की डिग्री: (एस ₁ ² /एन ₁ + एस ₂ ² /एन ₂ ) ² / { [(एस ₁ ² / एन ₁ ) ² / (एन ₁ – 1) ] + [ (एस ₂ ² / एन ₂ ) ² / (एन ₂ – 1) ] }

स्वतंत्रता की डिग्री: (20.42/11 + 83.23/13) ² / { [(20.42/11) ² / (11 – 1) ] + [(83.23/13) ² / (13 – 1) ] } = 18.137। हम इस परिणाम को निकटतम पूर्णांक, 18 तक पूर्णांकित करते हैं।

अंत में, हम t वितरण तालिका में महत्वपूर्ण मान t पाएंगे जो 18 डिग्री स्वतंत्रता के लिए अल्फा = 0.05 के साथ दो-तरफा परीक्षण से मेल खाता है:

क्रांतिक मान t 2.101 है। चूँकि हमारे परीक्षण आँकड़ों का निरपेक्ष मान (1.538) महत्वपूर्ण मान t से अधिक नहीं है, हम परीक्षण की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। यह कहने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं हैं कि दोनों आबादी के साधन काफी भिन्न हैं।

एक्सेल के साथ वेल्च का टी-टेस्ट

एक्सेल में वेल्च का टी-टेस्ट करने के लिए, हमें सबसे पहले मुफ्त एनालिसिस टूलपैक सॉफ्टवेयर डाउनलोड करना होगा। यदि आपने इसे एक्सेल में पहले से डाउनलोड नहीं किया है, तो मैंने इसे डाउनलोड करने के तरीके पर एक त्वरित ट्यूटोरियल लिखा है।

एक बार जब आप विश्लेषण टूलपैक डाउनलोड कर लेते हैं, तो आप हमारे दो नमूनों पर वेल्च का टी-टेस्ट करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन कर सकते हैं:

1. डेटा दर्ज करें. कॉलम ए और बी में दो नमूनों के लिए डेटा मान दर्ज करें और प्रत्येक कॉलम के पहले सेल में शीर्षक नमूना 1 और नमूना 2 दर्ज करें।

2. विश्लेषण टूलपैक का उपयोग करके वेल्च का टी-टेस्ट करें। शीर्ष रिबन के साथ डेटा टैब पर जाएँ। इसके बाद, विश्लेषण समूह के अंतर्गत, विश्लेषण टूलपैक आइकन पर क्लिक करें।

दिखाई देने वाले संवाद बॉक्स में, टी-टेस्ट पर क्लिक करें: असमान भिन्नताओं वाले दो नमूने , और फिर ठीक पर क्लिक करें।

अंत में, नीचे दिए गए मान भरें और फिर ओके पर क्लिक करें:

निम्नलिखित परिणाम दिखना चाहिए:

ध्यान दें कि इस परीक्षण के परिणाम हमारे द्वारा मैन्युअल रूप से प्राप्त परिणामों के अनुरूप हैं:

• परीक्षण आँकड़ा -1.5379 है।
• दोतरफा क्रांतिक मान 2.1009 है।
• चूँकि परीक्षण आँकड़ों का निरपेक्ष मान दो-पूंछ वाले महत्वपूर्ण मान से अधिक नहीं है, इसलिए दोनों आबादी के साधन सांख्यिकीय रूप से भिन्न नहीं हैं।
• इसके अलावा, परीक्षण का दो-पूंछ वाला पी-मान 0.14 है, जो 0.05 से अधिक है और पुष्टि करता है कि दोनों आबादी के साधन सांख्यिकीय रूप से भिन्न नहीं हैं।

आर का उपयोग करते हुए वेल्च का टी-टेस्ट

निम्नलिखित कोड बताता है कि आर सांख्यिकीय प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करके हमारे दो नमूनों के लिए वेल्च का टी-टेस्ट कैसे किया जाए:

 #create two vectors to hold sample data values
sample1 <- c(14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25)
sample2 <- c(10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34)

#conduct Welch's test
t.test( sample1, sample2)

# Welch Two Sample t-test
#
#data: sample1 and sample2
#t = -1.5379, df = 18.137, p-value = 0.1413
#alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#95 percent confidence interval:
#-10.453875 1.614714
#sample estimates:
#mean of x mean of y 
#19.27273 23.69231 
#

T.test() फ़ंक्शन निम्नलिखित प्रासंगिक आउटपुट प्रदर्शित करता है:

• टी: परीक्षण आँकड़ा = -1.5379
• डीएफ : स्वतंत्रता की डिग्री = 18.137
• पी-वैल्यू: दो-पूंछ वाले परीक्षण का पी-वैल्यू = 0.1413
• 95% विश्वास अंतराल : जनसंख्या में वास्तविक अंतर के लिए 95% विश्वास अंतराल का मतलब = (-10.45, 1.61)

इस परीक्षण के परिणाम मैन्युअल रूप से और एक्सेल का उपयोग करके प्राप्त किए गए परिणामों के अनुरूप हैं: इन दो आबादी के लिए साधनों में अंतर अल्फा = 0.05 के स्तर पर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं है।