संभाव्यता सूत्र

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख दिखाता है कि संभाव्यता सूत्र क्या हैं। इस प्रकार, आपको संभाव्यता सिद्धांत के सभी सूत्र और, इसके अलावा, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण मिलेंगे।

लाप्लास के नियम का सूत्र

लाप्लास का नियम, जिसे लाप्लास का नियम भी कहा जाता है, एक नियम है जिसका उपयोग किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है।

लाप्लास का नियम कहता है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना अनुकूल मामलों की संख्या को संभावित मामलों की कुल संख्या से विभाजित करने के बराबर होती है। इसलिए, किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए, उस घटना से मिलने वाले मामलों को संभावित परिणामों की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए।

इस प्रकार, लाप्लास के नियम का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ देखें: लाप्लास नियम का उदाहरण

व्युत्क्रम घटना का सूत्र

एक घटना की प्रायिकता उसके विपरीत घटना की प्रायिकता को घटाकर एक के बराबर होती है। दूसरे शब्दों में, एक घटना की संभावना और उसके विपरीत घटना की संभावना का योग 1 के बराबर होता है।

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

उदाहरण के लिए, संख्या 5 के लुढ़कने की प्रायिकता 0.167 है, क्योंकि हम इस संभाव्य गुण का उपयोग करके किसी अन्य संख्या के लुढ़कने की प्रायिकता निर्धारित कर सकते हैं:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

सशर्त संभाव्यता सूत्र

सशर्त संभाव्यता, जिसे सशर्त संभाव्यता भी कहा जाता है, एक सांख्यिकीय माप है जो इस संभावना को इंगित करता है कि यदि कोई अन्य घटना बी घटित होती है तो घटना ए घटित होगी। अर्थात्, सशर्त संभाव्यता P(A|B) घटना B के पहले ही घटित होने के बाद घटना A के घटित होने की संभावना को संदर्भित करता है।

घटना ए की दी गई घटना बी की सशर्त संभाव्यता घटना ए और घटना बी के बीच प्रतिच्छेदन की संभावना को घटना बी की संभावना से विभाजित करने के बराबर है। इसलिए, सशर्त संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ देखें: सशर्त संभाव्यता का उदाहरण

घटनाओं के मिलन का सूत्र

दो घटनाओं ए और बी का मिलन उन घटनाओं का समूह है जो ए, बी या दोनों में पाए जाते हैं। दो घटनाओं के मिलन को प्रतीक ⋃ से व्यक्त किया जाता है, इस प्रकार घटनाओं A और B के मिलन को A⋃B लिखा जाता है।

दो घटनाओं के मिलन की प्रायिकता पहली घटना की प्रायिकता के बराबर होती है, साथ ही दूसरी घटना की प्रायिकता को घटाकर, घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता को घटाकर।

दूसरे शब्दों में, दो घटनाओं के मिलन की संभावना का सूत्र P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B) है।

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

हालाँकि, यदि दो घटनाएँ असंगत हैं, तो दोनों घटनाओं के बीच प्रतिच्छेदन शून्य है। इसलिए, दो असंगत घटनाओं के मिलन की संभावना की गणना प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को जोड़कर की जाती है।

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ देखें: आयोजनों में भागीदारी के उदाहरण

घटनाओं के प्रतिच्छेदन का सूत्र

घटनाओं ए और बी का प्रतिच्छेदन एक ही समय में ए और बी से संबंधित सभी घटनाओं से बनता है, इसे प्रतीक ⋂ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस प्रकार, घटनाओं A और B का प्रतिच्छेदन A⋂B लिखा जाता है।

दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना एक घटना के घटित होने की संभावना के बराबर होती है, जो पहली घटना के बाद दूसरी घटना के घटित होने की सशर्त संभावना से गुणा होती है।

इसलिए, दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना का सूत्र P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B) है।

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

हालाँकि, यदि दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो इसका मतलब है कि एक घटना के घटित होने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि दूसरी घटना घटित होती है या नहीं। इसलिए, दो स्वतंत्र घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ देखें: घटनाओं के प्रतिच्छेदन के उदाहरण

घटनाओं के अंतर का सूत्र

दो घटनाओं के बीच अंतर संभाव्यता एक ही समय में दूसरी घटना घटित हुए बिना एक घटना के घटित होने की संभावना को संदर्भित करती है।

इसलिए, एबी सफलताओं के अंतर की संभावना सफलता ए की संभावना के बराबर है, ए सफलता और बी सफलता के बीच प्रतिच्छेदन की संभावना कम है। तो सफलताओं के अंतर की संभावना का सूत्र निम्नलिखित है:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

कुल संभाव्यता प्रमेय के लिए सूत्र

कुल संभाव्यता प्रमेय एक कानून है जो किसी ऐसी घटना की संभावना की गणना करना संभव बनाता है जो उक्त नमूना स्थान में सभी घटनाओं की सशर्त संभावनाओं से नमूना स्थान का हिस्सा नहीं है।

कुल संभाव्यता प्रमेय कहता है कि घटनाओं का एक सेट दिया गया है {ए ₁ , ए ₂ ,…, ए _एन } जो नमूना स्थान पर एक विभाजन बनाता है, घटना बी की संभावना प्रत्येक की संभावना के उत्पादों के योग के बराबर है घटना P(A _i ) सशर्त संभाव्यता P(B|A _i ) द्वारा।

इसलिए, कुल संभाव्यता प्रमेय का सूत्र है:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ देखें: कुल संभाव्यता प्रमेय का उदाहरण

बेयस प्रमेय का सूत्र

संभाव्यता सिद्धांत में, बेयस प्रमेय एक कानून है जिसका उपयोग किसी घटना की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है जब उस घटना के बारे में प्राथमिक जानकारी ज्ञात होती है।

बेयस का प्रमेय कहता है कि पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं {ए ₁ , ए ₂ ,…, ए _आई ,…, ए _एन } के एक सेट द्वारा गठित एक नमूना स्थान दिया गया है, जिसकी संभावनाएं शून्य नहीं हैं और एक अन्य घटना बी है, हम गणितीय रूप से सशर्त से संबंधित हो सकते हैं A _i की संभाव्यता घटना B दी गई है और B की सशर्त संभाव्यता A _i दी गई है।

तो, बेयस प्रमेय का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ देखें: बेयस प्रमेय का उदाहरण

सभी संभाव्यता सूत्रों की सारांश तालिका

अंत में, हम आपके लिए सारांश के रूप में सभी संभाव्यता सूत्रों वाली एक तालिका छोड़ते हैं।

➤ देखें: सांख्यिकीय सूत्र

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने