सांख्यिकी में सशर्त वितरण क्या है?

यदि X और Y दो संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं, तो दिए गए X का सशर्त वितरण Y का संभाव्यता वितरण है जब X को एक निश्चित मान के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित दो-तरफ़ा तालिका एक सर्वेक्षण के परिणाम दिखाती है जिसमें 100 लोगों से पूछा गया कि उन्हें कौन सा खेल पसंद है: बेसबॉल, बास्केटबॉल, या फ़ुटबॉल।

यदि हम इस संभावना को जानना चाहते हैं कि एक व्यक्ति एक निश्चित खेल को पसंद करता है, यह देखते हुए कि वह एक पुरुष है, तो यह सशर्त वितरण का एक उदाहरण है।

एक यादृच्छिक चर का मूल्य ज्ञात है (व्यक्ति एक आदमी है), लेकिन दूसरे यादृच्छिक चर का मूल्य अज्ञात है (हम उसका पसंदीदा खेल नहीं जानते हैं)।

पुरुषों के बीच खेल प्राथमिकताओं के सशर्त वितरण को खोजने के लिए, हम बस तालिका में पुरुषों के लिए पंक्ति के मूल्यों को देखेंगे:

सशर्त वितरण की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

• पुरुष जो बेसबॉल पसंद करते हैं: 13/48 = 0.2708
• पुरुष जो बास्केटबॉल पसंद करते हैं: 15/48 = 0.3125
• पुरुष जो फ़ुटबॉल पसंद करते हैं: 20/48 = 0.4167

ध्यान दें कि संभावनाओं का योग 1: 13/48 + 15/48 + 20/48 = 48/48 = 1 है।

हम इस सशर्त वितरण का उपयोग सवालों के जवाब देने के लिए कर सकते हैं जैसे: यह देखते हुए कि एक व्यक्ति पुरुष है, क्या संभावना है कि बेसबॉल उसका पसंदीदा खेल है?

सशर्त वितरण से जिसकी हमने पहले गणना की थी, हम देख सकते हैं कि संभावना 0.2708 है।

तकनीकी शब्दों में, जब हम सशर्त वितरण की गणना करते हैं, तो हम कहते हैं कि हम समग्र जनसंख्या की एक विशेष उप-जनसंख्या में रुचि रखते हैं। पिछले उदाहरण में उप-जनसंख्या पुरुषों से बनी थी:

और जब हम इस उप-जनसंख्या से जुड़ी संभाव्यता की गणना करना चाहते हैं, तो हम कहते हैं कि हम रुचि के एक विशेष चरित्र में रुचि रखते हैं। पिछले उदाहरण में दिलचस्प चरित्र बेसबॉल था:

इस संभावना को खोजने के लिए कि उप-जनसंख्या में रुचि का गुण प्रकट होता है, हम बस 13/48 = 0.2708 प्राप्त करने के लिए रुचि के गुण (जैसे 13) के मूल्य को उप-जनसंख्या (जैसे 48) के कुल मूल्यों से विभाजित करते हैं।

सशर्त वितरण और स्वतंत्रता

हम कह सकते हैं कि यादृच्छिक चर

उदाहरण के लिए, पिछली तालिका में, क्या हम देख सकते हैं कि “बेसबॉल पसंद करते हैं” और “पुरुष” परीक्षण स्वतंत्र हैं?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए निम्नलिखित संभावनाओं की गणना करें:

• पी(बेसबॉल पसंद करता है)
• पी(बेसबॉल पसंद करते हैं | आदमी) “बेसबॉल पसंद करते हैं, यह देखते हुए कि वे पुरुष हैं

संभावना यह है कि कोई व्यक्ति बेसबॉल पसंद करता है:

• पी (बेसबॉल पसंद करता है) = 36/100 = 0.36 ।

यह संभावना है कि कोई व्यक्ति बेसबॉल पसंद करता है, यह देखते हुए कि वह एक पुरुष है

• पी (बेसबॉल पसंद करता है | आदमी) = 13/48 = .2708 ।

चूँकि P (बेसबॉल पसंद करता है) P (बेसबॉल पसंद करता है | पुरुष) के बराबर नहीं है, खेल प्राथमिकता और लिंग के यादृच्छिक चर स्वतंत्र नहीं हैं।

सशर्त वितरण का उपयोग क्यों करें?

सशर्त संभाव्यता वितरण उपयोगी होते हैं क्योंकि हम अक्सर दो चर (जैसे लिंग और खेल प्राथमिकताएं) के लिए डेटा एकत्र करते हैं, लेकिन हम संभाव्यता के बारे में प्रश्नों का उत्तर तब देना चाहते हैं जब हम चर में से किसी एक का मूल्य जानते हैं ।

पिछले उदाहरण में, हमने उस परिदृश्य पर विचार किया जहां हम जानते थे कि एक व्यक्ति पुरुष था और हम केवल इस संभावना को जानना चाहते थे कि यह व्यक्ति बेसबॉल पसंद करेगा।

वास्तविक जीवन में ऐसे कई मामले हैं जहां हम एक चर का मूल्य जानते हैं और एक सशर्त वितरण का उपयोग करके किसी अन्य चर के एक निश्चित मूल्य लेने की संभावना का पता लगा सकते हैं।

अतिरिक्त संसाधन

सीमांत वितरण क्या है?
संयुक्त संभाव्यता वितरण क्या है?
दोहरी प्रविष्टि तालिका में सशर्त सापेक्ष आवृत्ति कैसे ज्ञात करें