सीडीएफ या पीडीएफ: क्या अंतर है?

यह ट्यूटोरियल आंकड़ों में पीडीएफ (संभावना घनत्व फ़ंक्शन) और सीडीएफ (संचयी वितरण फ़ंक्शन) के बीच अंतर का एक सरल स्पष्टीकरण प्रदान करता है।

यादृच्छिक चर

इससे पहले कि हम पीडीएफ या सीडीएफ को परिभाषित कर सकें, हमें पहले यादृच्छिक चर को समझने की जरूरत है।

एक यादृच्छिक चर , जिसे आमतौर पर X कहा जाता है, एक चर है जिसका मान एक यादृच्छिक प्रक्रिया के संख्यात्मक परिणाम हैं। यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर।

असतत यादृच्छिक चर

असतत यादृच्छिक चर एक ऐसा चर है जो केवल 0, 1, 2, 3, 4, 5… 100, 1 मिलियन, आदि जैसे विशिष्ट मानों की एक गणनीय संख्या ले सकता है। यहां असतत यादृच्छिक चर के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• एक सिक्के को 20 बार उछालने के बाद जितनी बार पटल पर आता है।
• 100 बार घुमाने के बाद एक पासा 4 नंबर पर जितनी बार गिरता है।

निरंतर यादृच्छिक चर

एक सतत यादृच्छिक चर एक ऐसा चर है जो अनंत संख्या में संभावित मान ले सकता है। यहां सतत यादृच्छिक चर के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• किसी व्यक्ति की ऊंचाई
• एक जानवर का वजन
• एक मील चलने में लगने वाला समय

उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की ऊंचाई 60.2 इंच, 65.2344 इंच, 70.431222 इंच आदि हो सकती है। आकार के लिए संभावित मानों की अनंत संख्या है।

अंगूठे का सामान्य नियम: यदि आप परिणामों की संख्या की गणना कर सकते हैं, तो आप एक अलग यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं (उदाहरण के लिए एक सिक्का सिर पर आने की संख्या की गणना करना)। लेकिन यदि आप परिणाम को माप सकते हैं, तो आप एक सतत यादृच्छिक चर (जैसे माप, ऊंचाई, वजन, समय, आदि) के साथ काम कर रहे हैं।

संभाव्यता घनत्व कार्य

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) हमें संभावना बताता है कि एक यादृच्छिक चर एक निश्चित मान लेता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमने पासे को एक बार घुमाया। यदि हम x को उस संख्या को निरूपित करने देते हैं जिस पर पासा गिरता है, तो परिणाम के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

पी(एक्स <1) : 0

पी(एक्स = 1) : 1/6

पी(एक्स = 2) : 1/6

पी(एक्स = 3) : 1/6

पी(एक्स = 4) : 1/6

पी(एक्स = 5) : 1/6

पी(एक्स = 6) : 1/6

पी(एक्स > 6) : 0

ध्यान दें कि यह एक असतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण है, क्योंकि x केवल पूर्णांक मान ले सकता है।

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, हम सीधे पीडीएफ का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि x के सटीक मान लेने की संभावना शून्य है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम इस संभावना को जानना चाहते हैं कि किसी विशेष रेस्तरां के हैमबर्गर का वजन एक चौथाई पाउंड (0.25 पाउंड) है। चूँकि वजन एक सतत चर है, यह अनंत संख्या में मान ले सकता है।

उदाहरण के लिए, किसी दिए गए हैमबर्गर का वजन वास्तव में 0.250001 पाउंड, या 0.24 पाउंड, या 0.2488 पाउंड हो सकता है। यह संभावना कि किसी दिए गए हैमबर्गर का वजन ठीक 0.25 पाउंड होगा, अनिवार्य रूप से शून्य है।

संचयी वितरण कार्य

एक संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) हमें संभावना बताता है कि एक यादृच्छिक चर x से कम या उसके बराबर मान लेता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमने पासे को एक बार घुमाया। यदि हम x को उस संख्या को निरूपित करने दें जिस पर पासा गिरता है, तो परिणाम के संचयी वितरण फ़ंक्शन को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

पी(x ≤ 0) : 0

पी(एक्स ≤ 1) : 1/6

पी(एक्स ≤ 2) : 2/6

पी(एक्स ≤ 3) : 3/6

पी(x ≤ 4) : 4/6

पी(एक्स ≤ 5) : 5/6

पी(x ≤ 6) : 6/6

पी(एक्स > 6) : 0

ध्यान दें कि x के 6 से कम या उसके बराबर होने की संभावना 6/6 है, जो 1 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पासा 100% संभावना के साथ 1, 2, 3, 4, 5, या 6 पर गिरेगा।

यह उदाहरण एक असतत यादृच्छिक चर का उपयोग करता है, लेकिन एक सतत घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी किया जा सकता है।

संचयी वितरण कार्यों में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• संभावना है कि एक यादृच्छिक चर न्यूनतम संभव मान से कम मान लेता है शून्य है। उदाहरण के लिए, एक पासे के 1 से कम मान पर उतरने की संभावना शून्य है।
• संभावना है कि एक यादृच्छिक चर सबसे बड़े संभावित मूल्य से कम या उसके बराबर मान लेता है। उदाहरण के लिए, एक पासे के 1, 2, 3, 4, 5 या 6 के मान पर उतरने की प्रायिकता एक है। इसे इनमें से किसी एक नंबर पर उतरना होगा।
• सीडीएफ सदैव घटता नहीं है। कहने का तात्पर्य यह है कि पासा 1 से कम या उसके बराबर वाली संख्या पर गिरने की प्रायिकता 1/6 है, 2 से कम या उसके बराबर संख्या पर पासा गिरने की प्रायिकता 2/6 है, पासा 1 से कम या उसके बराबर वाली संख्या पर गिरने की प्रायिकता 2/6 है। 3 से कम या उसके बराबर संख्या 3/6 है, आदि। संचयी सम्भावनाएँ हमेशा घटती नहीं हैं।

संबंधित: आप संचयी वितरण फ़ंक्शन को देखने के लिए एक ऑगिव चार्ट का उपयोग कर सकते हैं।

सीडीएफ और पीडीएफ के बीच संबंध

तकनीकी शब्दों में, एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) एक संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) का व्युत्पन्न है।

इसके अतिरिक्त, ऋणात्मक अनंत और x के बीच एक पीडीएफ के वक्र के नीचे का क्षेत्र सीडीएफ पर x के मान के बराबर है।

पीडीएफ और सीडीएफ के बीच संबंध की विस्तृत व्याख्या के लिए, साथ ही यह प्रमाण पाने के लिए कि पीडीएफ सीडीएफ का व्युत्पन्न क्यों है, एक सांख्यिकी पाठ्यपुस्तक देखें।