स्मृतिहीन संपत्ति क्या है? (परिभाषा & #038; उदाहरण)

आंकड़ों में, संभाव्यता वितरण को स्मृतिहीन संपत्ति कहा जाता है यदि भविष्य में होने वाली घटना की संभावना पिछली घटनाओं की घटना से प्रभावित नहीं होती है।

स्मृतिहीन संपत्ति के साथ केवल दो संभाव्यता वितरण हैं:

• गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के साथ घातांकीय वितरण ।
• गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ ज्यामितीय वितरण ।

किसी घटना के घटित होने से पहले अपेक्षित समय को मॉडल करने के लिए इन दो संभाव्यता वितरणों का उपयोग किया जाता है।

यह पता चला है कि किसी भी समय, यह जानना कि कितना समय पहले ही बीत चुका है, वास्तव में हमें यह नहीं बताता है कि किसी घटना के जल्द या बाद में घटित होने की अधिक संभावना है या नहीं।

निम्नलिखित उदाहरण हमें स्मृतिहीन संपत्ति का बेहतर अंतर्ज्ञान प्राप्त करने में मदद करते हैं।

स्मृति के बिना संपत्ति का अंतर्ज्ञान

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

स्मृति के बिना नहीं

यह ज्ञात है कि लैपटॉप का एक निश्चित ब्रांड मरने से पहले औसतन लगभग 6 साल तक चलता है। इसलिए यदि हम जानते हैं कि एक विशेष लैपटॉप 5 वर्ष पुराना है, तो उसके ख़त्म होने तक का अपेक्षित समय काफी कम है। हालाँकि, यदि कोई अन्य लैपटॉप केवल 1 वर्ष पुराना है, तो उसके ख़त्म होने तक अपेक्षित समय काफी लंबा है।

इस उदाहरण में, यह जानना कि प्रत्येक लैपटॉप के जीवनकाल के दौरान कितना समय बीत चुका है, हमें बताता है कि लैपटॉप उसके ख़त्म होने तक कितने समय तक काम करता रहेगा। तो इस संभाव्यता वितरण में स्मृति के बिना कोई संपत्ति नहीं होगी।

बिना स्मृति के

अनुमान है कि जेसिका एक सुविधा स्टोर की मालिक है। वह जानना चाहती है कि अगले ग्राहक के स्टोर में प्रवेश करने के लिए उसे कितनी देर तक इंतजार करना होगा।

इस उदाहरण में, यह जानना कि आखिरी ग्राहक ने स्टोर में कब प्रवेश किया था, वास्तव में यह अनुमान लगाने के लिए उपयोगी नहीं है कि अगला ग्राहक कब प्रवेश करेगा, क्योंकि प्रत्येक ग्राहक स्वतंत्र है और व्यक्तिगत व्यवहार प्रदर्शित करता है।

तो इस संभाव्यता वितरण में स्मृतिहीन गुण होगा। दूसरे शब्दों में, भविष्य में किसी घटना के घटित होने की संभावना पिछली घटनाओं के घटित होने से प्रभावित नहीं होती है।

स्मृतिहीन संपत्ति: एक औपचारिक परिभाषा

औपचारिक सांख्यिकीय शब्दों में , एक यादृच्छिक चर   {0, 1, 2,…} में यह सत्य है कि:

पीआर(एक्स > ए + बी | एक्स ≥ ए ) = पीआर(एक्स > बी )

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास स्मृतिहीन संपत्ति के साथ संभाव्यता वितरण है और एक्स पहली सफलता तक परीक्षणों की संख्या है। यदि a = 30 और b = 10 तो हम कहेंगे:

• पीआर(एक्स > ए + बी | एक्स ≥ ए ) = पीआर(एक्स > बी )
• पीआर(एक्स > 30 + 10 | एक्स ≥ 30 ) = पीआर(एक्स > 10)
• पीआर(एक्स > 40 | एक्स ≥ 30 ) = पीआर(एक्स > 10)

दूसरे शब्दों में, यदि हमारे पास 30 असफल परीक्षण हैं, तो संभावना है कि हमें सफलता का अनुभव करने के लिए परीक्षण #40 या उसके बाद तक इंतजार करना होगा, शून्य से शुरू करने और परीक्षण #10 तक इंतजार करने की संभावना के समान है। या अधिक सफल होने के लिए.

चूँकि इस संभाव्यता वितरण में स्मृतिहीन गुण होता है, इसका मतलब यह है कि एक निश्चित बिंदु तक हमारी विफलताओं की संख्या जानने से भी हमें भविष्य में विफलता की संभावना के बारे में पता नहीं चलता है।

स्मृतिहीन संपत्ति: एक उदाहरण

मान लीजिए कि प्रति घंटे औसतन 30 ग्राहक एक स्टोर में प्रवेश करते हैं और आगमन के बीच का समय तेजी से वितरित किया जाता है। लगातार यात्राओं के बीच औसतन 2 मिनट का समय बीतता है।

मान लें कि अंतिम ग्राहक आने के बाद 10 मिनट बीत चुके हैं। यह देखते हुए कि यह असामान्य रूप से लंबी अवधि है, यह अधिक संभावना होगी कि ग्राहक एक मिनट के भीतर पहुंच जाएगा।

हालाँकि, चूँकि घातीय वितरण में स्मृतिहीन गुण होता है, इसलिए ऐसा नहीं होता है। अगले ग्राहक के आने की प्रतीक्षा में बिताया गया समय पिछले ग्राहक के आने के बाद के समय पर निर्भर नहीं करता है।

हम इसे घातीय वितरण के सीडीएफ का उपयोग करके साबित कर सकते हैं:

सीडीएफ: 1 – ई ^-λx

जहां λ की गणना 1/औसत अंतर-आगमन समय के रूप में की जाती है। हमारे उदाहरण में, λ = 1/2 = 0.5.

यदि हम a = 10 और b = 1 सेट करते हैं, तो हमारे पास है:

• पीआर(एक्स > ए + बी | एक्स ≥ ए ) = पीआर(एक्स > बी )
• पीआर( ^एक्स > 10 + 1 |

भले ही अंतिम ग्राहक के आने के बाद कितना समय बीत चुका हो, अगले ग्राहक के आने में एक मिनट से अधिक समय लगने की संभावना 0.6065 है।