Asimetri dan perataan

Oleh Benjamin anderson Agustus 4, 2023 Statistik 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu skewness dan kurtosis dalam statistik. Jadi, Anda akan menemukan definisi kedua konsep tersebut, cara menghitung skewness dan kurtosis, apa rumusnya, serta kalkulator online untuk menghitung skewness dan kurtosis dari setiap sampel data.

Apa itu skewness dan kurtosis?

Skewness dan kurtosis adalah dua ukuran statistik yang digunakan untuk mendeskripsikan bentuk suatu distribusi tanpa harus membuat grafiknya. Lebih khusus lagi, skewness menunjukkan derajat simetri (atau skewness) suatu distribusi, sedangkan kurtosis menunjukkan derajat konsentrasi suatu distribusi di sekitar meannya.

Dalam statistik, skewness dan kurtosis disebut juga ukuran bentuk .

👉 Anda dapat menggunakan kalkulator online di bawah ini untuk menghitung kemiringan dan kurtosis kumpulan data apa pun.

Asimetri

Dalam statistik, skewness adalah ukuran yang menunjukkan derajat simetri (atau asimetri) suatu distribusi relatif terhadap meannya. Sederhananya, skewness adalah parameter statistik yang digunakan untuk menentukan derajat simetri (atau asimetri) suatu distribusi tanpa perlu merepresentasikannya secara grafis.

Jadi, distribusi asimetris adalah distribusi yang mempunyai jumlah nilai yang berbeda di sebelah kiri mean dibandingkan dengan yang di sebelah kanannya. Sebaliknya, pada distribusi simetris terdapat jumlah nilai yang sama di kiri dan kanan mean.

Jadi, kami membedakan tiga jenis asimetri :

Asimetri positif : Distribusi mempunyai nilai yang lebih berbeda di sebelah kanan mean daripada di sebelah kirinya.
Simetri : Distribusi mempunyai jumlah nilai yang sama di sebelah kiri mean dan di sebelah kanan mean.
Kecondongan negatif : Distribusi mempunyai nilai yang lebih berbeda di sebelah kiri mean daripada di sebelah kanannya.

koefisien asimetri

Koefisien kemiringan , atau indeks asimetri , adalah koefisien statistik yang membantu menentukan asimetri suatu distribusi. Jadi, dengan menghitung koefisien asimetri, kita dapat mengetahui jenis asimetri apa yang ada dalam distribusi tanpa harus merepresentasikannya secara grafis.

Meskipun ada rumus berbeda untuk menghitung koefisien asimetri, dan kita akan melihat semuanya di bawah, apa pun rumus yang digunakan, interpretasi koefisien asimetri selalu dilakukan sebagai berikut:

Jika koefisien skewness positif, maka distribusinya miring positif .
Jika koefisien asimetri sama dengan nol, distribusinya simetris .
Jika koefisien skewness negatif, distribusinya miring negatif .

Koefisien asimetri Fisher

Koefisien skewness Fisher sama dengan momen ketiga terhadap mean dibagi dengan deviasi standar sampel. Oleh karena itu, rumus koefisien asimetri Fisher adalah:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Dengan cara yang sama, salah satu dari dua rumus berikut dapat digunakan untuk menghitung koefisien Fisher:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Emas

$E$

adalah ekspektasi matematis,

$\mu$

mean aritmatika,

$\sigma$

simpangan baku dan

$N$

jumlah total data.

Sedangkan jika datanya dikelompokkan dapat menggunakan rumus berikut:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Dimana dalam hal ini

$x_i$

Itu adalah tanda kelas dan

$f_i$

frekuensi absolut kursus.

Koefisien asimetri Pearson

Koefisien skewness Pearson sama dengan selisih antara mean sampel dan modus dibagi dengan deviasi standarnya (atau deviasi standar). Oleh karena itu, rumus koefisien asimetri Pearson adalah sebagai berikut:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Emas

$A_p$

adalah koefisien Pearson,

$\mu$

mean aritmatika,

$Mo$

mode dan

$\sigma$

deviasi standar.

Perlu diingat bahwa koefisien skewness Pearson hanya dapat dihitung jika distribusinya unimodal, yaitu jika hanya terdapat satu mode dalam data.

Koefisien asimetri Bowley

Koefisien skewness Bowley sama dengan jumlah kuartil ketiga ditambah kuartil pertama dikurangi dua kali median dibagi selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama. Oleh karena itu rumus koefisien asimetri ini adalah sebagai berikut:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Emas

$Q_1$

Dan

$Q_3$

Ini masing-masing adalah kuartil pertama dan ketiga dan

$Me$

adalah median distribusi.

Perataan

Kurtosis , juga disebut skewness , menunjukkan seberapa terkonsentrasi suatu distribusi di sekitar meannya. Dengan kata lain, kurtosis menunjukkan apakah suatu distribusi curam atau datar. Secara khusus, semakin besar kurtosis suatu distribusi, semakin curam (atau tajam) distribusi tersebut.

Ada tiga jenis sanjungan :

Leptokurtik : distribusinya sangat runcing, artinya data terkonsentrasi kuat di sekitar mean. Lebih tepatnya distribusi leptokurtik diartikan sebagai distribusi yang lebih tajam dibandingkan distribusi normal.
Mesokurtik : Kurtosis distribusi setara dengan kurtosis distribusi normal. Oleh karena itu, ia tidak dianggap tajam atau tersanjung.
Platikurtik : distribusinya sangat datar, artinya konsentrasi di sekitar meannya rendah. Secara formal, distribusi platikurtik didefinisikan sebagai distribusi yang lebih datar dari distribusi normal.

Perhatikan bahwa berbagai jenis kurtosis didefinisikan dengan mengambil kurtosis berdistribusi normal sebagai referensi.

koefisien kurtosis

Rumus koefisien kurtosis adalah sebagai berikut:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Rumus koefisien kurtosis untuk data yang dikelompokkan dalam tabel frekuensi :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Terakhir, rumus koefisien kurtosis untuk data yang dikelompokkan ke dalam interval :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Emas:

$g_2$

adalah koefisien kurtosis.
$N$

adalah jumlah total data.
$x_i$

adalah titik data ke-i dalam rangkaian tersebut.
$\mu$

adalah mean aritmatika dari distribusi.
$\sigma$

adalah deviasi standar (atau deviasi tipikal) dari distribusi.
$f_i$

adalah frekuensi absolut dari kumpulan datanya.
$c_i$

adalah tanda kelas dari kelompok ke-i.

Perhatikan bahwa dalam semua rumus koefisien kurtosis, 3 dikurangkan karena merupakan nilai kurtosis dari distribusi normal. Dengan demikian, perhitungan koefisien kurtosis dilakukan dengan mengambil acuan kurtosis berdistribusi normal. Inilah sebabnya terkadang dalam statistik dikatakan bahwa kurtosis berlebihan diperhitungkan.

Setelah koefisien kurtosis dihitung, maka harus diinterpretasikan sebagai berikut untuk mengetahui jenis kurtosisnya:

Jika koefisien kurtosis positif berarti distribusinya leptokurtik .
Jika koefisien kurtosis sama dengan nol berarti distribusinya bersifat mesokurtik .
Jika koefisien kurtosis bernilai negatif berarti distribusinya bersifat platikurtik .

Kalkulator Skewness dan Kurtosis

Masukkan kumpulan data ke dalam kalkulator berikut untuk menghitung koefisien skewness dan kurtosisnya serta menentukan jenis distribusinya. Data harus dipisahkan dengan spasi dan dimasukkan menggunakan titik sebagai pemisah desimal.

Untuk apa asimetri dan kurtosis?

Terakhir, kita akan melihat kegunaan skewness dan kurtosis dalam statistik dan bagaimana kedua jenis parameter statistik ini diinterpretasikan.

Skewness dan kurtosis digunakan untuk menentukan bentuk distribusi probabilitas tanpa perlu merepresentasikannya secara grafis. Artinya, skewness dan kurtosis dihitung untuk menentukan jenis distribusinya tanpa perlu membuat grafiknya, yang biasanya memakan banyak waktu dan tenaga.

Selain itu, nilai skewness dan kurtosis digunakan untuk membandingkan kurva suatu distribusi dengan distribusi normal. Karena jika serupa berarti distribusi yang akan dipelajari dapat mendekati distribusi normal sehingga beberapa teorema statistik dapat diterapkan.

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya

Apa itu skewness dan kurtosis?

Asimetri

koefisien asimetri

Koefisien asimetri Fisher

Koefisien asimetri Pearson

Koefisien asimetri Bowley

Perataan

koefisien kurtosis

Kalkulator Skewness dan Kurtosis

Untuk apa asimetri dan kurtosis?

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Tambahkan komentar