Operasi dengan acara

Oleh Benjamin anderson Agustus 6, 2023 Kemungkinan 0 Komentar

Di sini kami menjelaskan operasi apa yang dapat dilakukan dengan kejadian dan bagaimana setiap jenis operasi dengan kejadian dihitung. Selain itu, Anda dapat berlatih dengan latihan langkah demi langkah tentang operasi dengan kejadian.

Jenis operasi dengan acara

Dalam teori probabilitas, ada tiga jenis operasi dengan kejadian, yaitu:

Persatuan peristiwa : ini adalah probabilitas bahwa satu peristiwa atau lainnya akan terjadi.
Persimpangan kejadian : ini adalah peluang gabungan dari dua kejadian atau lebih.
Selisih Peristiwa : Ini adalah peluang terjadinya satu peristiwa, tetapi peristiwa lain tidak terjadi pada waktu yang sama.

Dengan hanya mendefinisikan setiap jenis operasi kejadian, sulit untuk memahami bagaimana setiap jenis operasi dilakukan. Oleh karena itu, ketiga operasi tersebut akan kami jelaskan lebih detail di bawah ini.

kesatuan peristiwa

Gabungan dua kejadian A dan B adalah peluang terjadinya kejadian A, kejadian B, atau kedua kejadian pada waktu yang bersamaan.

Lambang gabungan dua kejadian berbeda adalah U, sehingga gabungan dua kejadian dinyatakan dengan huruf U di tengah-tengah dua huruf yang mewakili kejadian tersebut.

$A\cup B$

Peluang terjadinya gabungan dua kejadian sama dengan jumlah peluang terjadinya masing-masing kejadian dikurangi peluang perpotongan kedua kejadian tersebut.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Misalnya, kita akan menghitung peluang kejadian “melemparkan bilangan genap” atau “melemparkan bilangan lebih besar dari 4” saat pelemparan sebuah dadu.

Ada tiga kemungkinan munculnya angka genap pada pelemparan dadu (2, 4 dan 6), sehingga peluang terjadinya kejadian tersebut adalah:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

Sebaliknya, hanya ada dua angka yang lebih besar dari empat (5 dan 6), maka probabilitasnya adalah:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

Dan perpotongan kedua kejadian tersebut sesuai dengan bilangan yang muncul pada kedua kejadian tersebut, jadi:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

Singkatnya, dengan menggabungkan kejadian A dan B, peluang terjadinya adalah:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

persimpangan peristiwa

Perpotongan dua kejadian A dan B adalah peluang terjadinya kedua kejadian A dan B secara bersamaan.

Simbol perpotongan dua kejadian dilambangkan dengan huruf U terbalik.

$A\cap B$

Peluang perpotongan dua kejadian sama dengan hasil kali peluang masing-masing kejadian secara terpisah.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Tentunya, untuk menghitung peluang perpotongan dua kejadian, kedua kejadian tersebut harus kompatibel.

➤ Lihat: Acara apa yang kompatibel?

Sebagai contoh, kita akan mencari peluang kejadian “mendapatkan bilangan genap” dan “mendapatkan bilangan lebih besar dari 4” berpotongan pada pelemparan sebuah dadu.

Seperti yang telah kita hitung di atas, peluang setiap peristiwa terjadi secara terpisah adalah:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

Jadi, peluang perpotongan kedua kejadian adalah perkalian peluang masing-masing kejadian:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

perbedaan peristiwa

Selisih dua kejadian A dikurangi B sama dengan semua kejadian dasar A yang tidak ada di B. Dengan kata lain, pada selisih dua kejadian A dikurangi B, kejadian A terpenuhi tetapi kejadian B tidak dapat dipenuhi secara bersamaan.

$A-B$

Peluang selisih antara dua kejadian A dan B sama dengan peluang terjadinya kejadian A dikurangi peluang terjadinya kejadian-kejadian elementer yang dialami oleh A dan B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Mengikuti contoh yang sama seperti pada dua jenis operasi sebelumnya, kita akan menentukan peluang terjadinya hal ini dari selisih kejadian “mendapatkan bilangan genap” dikurangi “mendapatkan bilangan lebih besar dari 4” saat pelemparan dadu.

Peluang terjadinya kejadian A, B dan perpotongannya adalah sebagai berikut (Anda dapat melihat perhitungan detailnya di atas):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

Oleh karena itu, peluang munculnya perbedaan antara dua kejadian adalah:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

Yang menarik, selisih kejadian AB mempunyai sifat juga ekuivalen dengan perpotongan antara kejadian A dan kejadian yang saling melengkapi (atau berlawanan) di B.

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ Lihat: Apa yang dimaksud dengan acara pelengkap?

Latihan yang diselesaikan pada operasi dengan acara

Latihan 1

Jika sebuah dadu bersisi enam dilempar, berapa peluang terambilnya angka ganjil atau angka kurang dari 3?

lihat solusinya

Dalam latihan ini kita harus menghitung peluang terjadinya suatu kejadian atau kejadian lainnya, jadi kita harus mencari peluang gabungan kedua kejadian tersebut.

Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung peluang terambilnya bilangan ganjil dengan menerapkan hukum Laplace:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

Kedua, kita menentukan peluang terambilnya angka kurang dari 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

Sekarang mari kita hitung peluang kejadian elementer yang berulang pada kejadian yang hanya angka 1 (hanya ganjil kurang dari 3):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Dan terakhir, kami menerapkan rumus gabungan dua kejadian untuk mengetahui probabilitasnya:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

Latihan 2

Didalam sebuah kotak terdapat 3 bola warna orange, 2 bola warna biru, dan 5 bola warna putih. Kami melakukan percobaan acak dengan mengambil sebuah bola, memasukkannya kembali ke dalam kotak, lalu mengeluarkan bola lainnya. Berapa peluang terambilnya bola biru pada bola pertama dan bola oranye pada bola kedua?

lihat solusinya

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus menghitung perpotongan kedua kejadian tersebut, karena kita ingin kedua kejadian dasar tersebut benar.

Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung peluang terambilnya bola biru dengan menerapkan aturan Laplace:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

Kami kemudian mencari peluang terambilnya bola oranye:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

Dan terakhir, kita menghitung peluang perpotongan dua kejadian dengan mengalikan dua peluang yang ditemukan:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

Kesimpulannya, peluang menangkap bola biru pada percobaan pertama hanya 6% dan bola oranye pada percobaan kedua.

Latihan 3

Peluang Marta lulus suatu ujian adalah 1/3 dan peluang Juan lulus ujian yang sama adalah 2/5. Berapa peluang Marta berhasil dan Juan gagal?

lihat solusinya

Dalam latihan ini kita perlu menghitung selisih antara kedua kejadian tersebut, karena kita ingin Marta menyetujuinya tetapi bukan Juan. Untuk melakukan ini, cukup gunakan rumus untuk jenis operasi dengan acara ini:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

Oleh karena itu, peluang Marta berhasil dan Juan gagal pada saat yang sama adalah 20%.

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya

Jenis operasi dengan acara

kesatuan peristiwa

persimpangan peristiwa

perbedaan peristiwa

Latihan yang diselesaikan pada operasi dengan acara

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Tambahkan komentar