Aturan perkalian

Oleh Benjamin anderson Agustus 1, 2023 Kemungkinan 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa yang dimaksud dengan aturan perkalian, disebut juga aturan perkalian, dalam teori probabilitas. Jadi, Anda akan menemukan rumus aturan perkalian, contoh cara menghitung probabilitas menggunakan aturan perkalian, dan, sebagai tambahan, beberapa latihan yang diselesaikan untuk dipraktikkan.

Aturan perkalian bergantung pada apakah kejadian-kejadian tersebut independen atau bergantung, jadi pertama-tama kita akan melihat seperti apa aturan untuk kejadian independen dan kemudian untuk kejadian dependen.

Aturan perkalian untuk kejadian independen

Ingatlah bahwa kejadian independen adalah hasil eksperimen statistik yang peluang terjadinya tidak bergantung satu sama lain. Dengan kata lain, dua kejadian A dan B saling bebas jika peluang terjadinya kejadian A tidak bergantung pada terjadinya kejadian B dan sebaliknya.

➤ Lihat: Apa yang dimaksud dengan acara independen?

Rumus aturan perkalian untuk kejadian independen

Jika dua kejadian saling bebas, aturan perkalian menyatakan bahwa peluang gabungan terjadinya kedua kejadian sama dengan hasil kali peluang terjadinya masing-masing kejadian.

Oleh karena itu, rumus aturan perkalian kejadian bebas adalah:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Emas:

$A$

Dan

$B$

Ini adalah dua peristiwa independen.
$P(A\cap B)$

adalah peluang gabungan terjadinya kejadian A dan kejadian B.
$P(A)$

adalah peluang terjadinya kejadian A.
$P(B)$

adalah peluang terjadinya kejadian B.

➤ Lihat: Apa yang dimaksud dengan probabilitas gabungan?

Contoh aturan perkalian pada kejadian bebas

Sebuah uang logam dilempar tiga kali berturut-turut. Hitung peluang mendapatkan pukulan terbaik pada ketiga pelemparan tersebut.

Dalam hal ini, kejadian-kejadian yang ingin kita hitung probabilitas gabungannya adalah independen, karena hasil pengundian tidak bergantung pada hasil yang diperoleh pada pengundian sebelumnya. Oleh karena itu, untuk menentukan peluang gabungan terambilnya tiga gambar berurutan, kita perlu menggunakan rumus aturan perkalian untuk kejadian-kejadian independen:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Saat kita melempar koin, hanya ada dua kemungkinan hasil, kita dapat memperoleh kepala dan ekor. Oleh karena itu, peluang munculnya kepala atau ekor pada pelemparan sebuah uang logam adalah:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Jadi, untuk mencari peluang munculnya gambar pada ketiga pelemparan koin, kita perlu mengalikan peluang munculnya gambar dengan tiga:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

Singkatnya, kemungkinan mendapatkan gambar tiga kali berturut-turut adalah 12,5%.

Di bawah ini Anda memiliki semua kemungkinan kejadian yang direpresentasikan dengan probabilitasnya dalam diagram pohon, dengan cara ini Anda dapat melihat dengan lebih baik proses yang kita ikuti untuk mendapatkan probabilitas gabungan:

➤ Lihat: Apa itu diagram pohon?

Aturan perkalian untuk kejadian dependen

Setelah kita mengetahui aturan perkalian untuk kejadian-kejadian independen, mari kita lihat seperti apa hukum ini untuk kejadian-kejadian dependen karena rumusnya sedikit berbeda.

Ingatlah bahwa kejadian tak bebas adalah hasil percobaan acak yang peluang terjadinya bergantung satu sama lain. Artinya, dua peristiwa saling bergantung jika peluang terjadinya suatu peristiwa mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lainnya.

➤ Lihat: Apa yang dimaksud dengan kejadian dependen?

Rumus aturan perkalian untuk kejadian-kejadian terikat

Jika dua kejadian saling bergantung, aturan perkalian mengatakan bahwa peluang gabungan terjadinya kedua kejadian sama dengan hasil kali peluang terjadinya suatu kejadian dengan peluang bersyarat kejadian lain jika diberi kejadian pertama.

Jadi, rumus aturan perkalian kejadian tak bebas adalah:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Emas:

$A$

Dan

$B$

Ini adalah dua peristiwa yang bergantung.
$P(A\cap B)$

adalah peluang terjadinya kejadian A dan kejadian B.
$P(A)$

adalah peluang terjadinya kejadian A.
$P(B|A)$

adalah peluang bersyarat terjadinya peristiwa B jika terjadi peristiwa A.

➤ Lihat: Apa yang dimaksud dengan probabilitas bersyarat?

Contoh aturan perkalian untuk kejadian-kejadian tak bebas

Dalam kotak kosong kita masukkan 8 bola biru, 4 bola oranye, dan 2 bola hijau. Jika kita mengambil satu bola terlebih dahulu kemudian bola yang lain tanpa memasukkan kembali bola pertama ke dalam kotak, berapakah peluang terambilnya bola pertama berwarna biru dan bola kedua berwarna jingga?

Dalam hal ini, kejadiannya bergantung, karena peluang terambilnya bola oranye pada pengambilan kedua bergantung pada warna bola yang diambil pada pengambilan pertama. Oleh karena itu, untuk menghitung probabilitas gabungan, kita perlu menggunakan rumus aturan perkalian untuk kejadian-kejadian dependen:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Peluang terambilnya bola biru pada pengambilan pertama mudah untuk ditentukan, cukup bagi jumlah bola biru dengan jumlah bola:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

Sebaliknya, peluang terambilnya bola oranye setelah pengambilan bola biru dihitung secara berbeda karena jumlah bola oranye berbeda dan, sebagai tambahan, sekarang ada satu bola yang lebih sedikit di dalam kotak:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Jadi, peluang gabungan terambilnya bola biru terlebih dahulu kemudian bola oranye dihitung dengan mengalikan dua peluang yang ditemukan di atas:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ Lihat: Aturan penjumlahan

Latihan soal aturan perkalian

Latihan 1

Di sebuah kota hanya terdapat 3 tempat penitipan anak: 60% anak-anak bersekolah di tempat penitipan anak A, 30% di tempat penitipan anak B, dan 10% di tempat penitipan anak C. Selain itu, di ketiga tempat penitipan anak tersebut, 55% penduduknya adalah perempuan. Hitung probabilitas berikut:

Kemungkinan ketika seorang anak dipilih secara acak dari tempat penitipan anak B, anak tersebut adalah perempuan.
Kemungkinan ketika seorang anak dipilih secara acak dari pusat penitipan anak mana pun, ia akan berjenis kelamin laki-laki.

Lihat solusinya

Jika proporsi anak perempuan di semua tempat penitipan anak adalah 55%, maka persentase anak laki-laki dihitung hanya dengan mengurangkan 1 dikurangi 0,55:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

Sekarang setelah kita mengetahui semua probabilitasnya, kita dapat membuat pohon dengan probabilitas dari semua kemungkinan:

Dalam hal ini, kejadiannya bersifat independen, karena kemungkinan anak laki-laki atau perempuan tidak bergantung pada tempat penitipan anak yang dipilih. Jadi, untuk mencari peluang terpilihnya anak perempuan secara acak dari tempat penitipan anak B, Anda perlu mengalikan peluang terpilihnya tempat penitipan anak B dengan peluang terpilihnya anak perempuan:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

Di sisi lain, untuk menentukan probabilitas terpilihnya anak laki-laki di tempat penitipan anak mana pun, pertama-tama kita harus menghitung probabilitas terpilihnya anak laki-laki di setiap tempat penitipan anak, lalu menjumlahkannya:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

Latihan 2

Tahun keuangan 25 perusahaan di suatu negara dipelajari dan bagaimana harga saham mereka berubah tergantung pada hasil ekonomi tahun tersebut. Anda dapat melihat data yang dikumpulkan pada tabel kontingensi berikut:

latihan probabilitas bersyarat terpecahkan

Seberapa besar kemungkinan suatu perusahaan memperoleh keuntungan dan harga sahamnya juga naik?

Lihat solusinya

Dalam hal ini, kejadian-kejadian bersifat dependen karena kemungkinan naik atau turunnya saham bergantung pada hasil perekonomian. Oleh karena itu, kita perlu menerapkan rumus aturan perkalian untuk kejadian-kejadian tak bebas:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung probabilitas bahwa suatu perusahaan akan memperoleh keuntungan dan, kedua, probabilitas bahwa saham perusahaan tersebut akan meningkat ketika perusahaan tersebut memperoleh keuntungan ekonomi:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

Selanjutnya, kita mengganti nilai yang dihitung ke dalam rumus dan menghitung probabilitas gabungan:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya